Cuando la suma alternativa del primer$n$ enteros es$0$

Question

Para cada entero$j$$1, \cdots, n$, elija un signo de $f(j) = \pm 1$. A continuación, considere el valor de la suma: $$\sum_{j = 1}^n f(j)j = \pm 1 \pm 2 \pm \cdots \pm n$$

Para algunos valores de $n$, hay una variedad de signos $f$ que hace esta suma $0$, por ejemplo:

$$1 + 2 - 3 = 0$$ $$1 - 2 - 3 + 4 = 0$$

Para otros valores de $n$, no la hay. Tome $n \in \{1, 2, 5, 6\}$, por ejemplo. La pregunta es:

Para que los valores de $n$ existe una opción de signos $f$ tales como que $\sum f(j)j = 0$?

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Primero de todo, dado que los cuatro números enteros consecutivos, tenemos:

$$n - (n+1) - (n+2) + (n+3) = 0$$

Por lo tanto, si hay una opción para $n$, entonces también es posible para cualquier valor de $n' = n + 4k$ donde $k \in \mathbb{N}$. Como se puede hacer para$n = 3$$n = 4$, entonces sólo puede ser imposible para los números enteros congruentes a $1$ o $2$ modulo $4$. Me dijo que es imposible que sólo un número finito de valores de $n$. Mi amigo me dijo que descubrió que era posible que todos los $n > 6$, pero no he visto a su solución. Si es posible para$n = 9$$n = 10$, hemos de demostrar que es correcta, pero todavía estoy trabajando en ello.

Answer 1

Tenga en cuenta que si los enteros$j_1,j_2,...,j_k$ son los que son negativos, entonces tenemos que la suma es igual a$$\frac{n(n+1)}{2}-2(j_i,j_2,...,j_k)$ $ y para que esto sea posible,$\frac{n(n+1)}{2}$ debe ser par $n$ O$n+1$ debe ser doblemente pareja. Cuando es doblemente pareja, sólo necesita hacer un conjunto de enteros sumando a$\frac{n(n+1)}{4}$ sea negativo. Voy a dejar la prueba de que siempre existe un conjunto de enteros hasta usted!

Buen problema!