Prueba alternativa de no vacío de espectro / fórmula de radio espectral

Question

Los siguientes dos resultados son, probablemente, la mayoría de los resultados básicos de la teoría espectral:

Deje $a$ ser un elemento en un unital álgebra de Banach $\mathcal{A}$ ( $\mathbb{C}$ ). El espectro de $a$, $\sigma(a) = \{\lambda \in \mathbb{C} \mid (\lambda \mathbb{1} - a) \text{ isn't invertible} \}$, no está vacía.

Esto nos permite definir el radio espectral $r(a) = \sup \{ \lvert \lambda \rvert \mid \lambda \in \sigma(a)\}$ para los que

$r(a) = \lim_{n \to \infty} \lVert a^n \rVert^{1/n}$

sostiene. Todas las pruebas que he visto de estos dos teoremas son esencialmente los mismos. El croquis de la prueba de la primera proposición es el siguiente:

Podemos demostrar esto a través de la contradicción, de modo que suponga $\sigma(a)$ está vacía. Definir el resolvent de $a$ como el mapa $$ R:\mathbb{C} \\mathcal{A}: \lambda \mapsto (\lambda \mathbb{1})^{-1}. $$ Es analítica en el sentido de que $\phi \circ R$ es analítica para todos los $\phi$ lineal continua y funcionales en $\mathcal{A}$. Entonces no es tan difícil demostrarlo $R$ es acotado, entonces por el teorema de Liouville $\phi \circ R$ debe ser constante para cada $\phi$. Esto implica entonces $R$ debe ser constante y cero y por lo tanto llegamos a una contradicción.

La prueba del segundo teorema es muy similar: En primer lugar, es probado que $r(a) \leq \inf_n \lVert a^n \rVert^{1/n}$, que no es tan difícil. Entonces todo lo que queda por probar es que el $r(a) \geq \limsup_n \lVert a^n \rVert^{1/n}$. Deje $\Omega$ ser el disco abierto en $\mathbb{C}$ $0$ radio $\frac{1}{r(a)}$ y definir $$ f:\Omega \to \mathbb{C}: \lambda \mapsto (\mathbb{1} - \lambda a )^{-1}. $$ Podemos demostrar que $\phi \circ f$ es analítica para cada $\phi$ como antes. Entonces podemos afirmar que la $\phi(a^n) \lambda^n$ es un almacén de secuencia para cada $\phi$ $\lambda \in \Omega$ utilizando el poder de la serie de $\phi \circ f$. Por Banach-Steinhaus entonces tenemos que $a^n \lambda^n$ está delimitado para cada $\lvert \lambda \rvert < \frac{1}{r(a)}$. A continuación, se deduce que el $r(a) \geq \limsup_n \lVert a^n \rVert^{1/n}$.

Cada texto que he encontrado hasta ahora describir la misma prueba, tal vez de un modo ligeramente distinto, pero esencialmente el mismo. ¿Hay alternativas a estas pruebas? Preferiblemente que usar menos el análisis complejo. Me imagino que esto podría ser muy difícil, sobre todo para el segundo. Esto debido a que la fórmula ya es muy reminiscencia de la raíz de la prueba para la serie, por lo que "grita" el poder de la serie para mí. Pero yo estaría muy interesado si hubo ninguna en absoluto.

Edit: también me gustaría añadir mi interés en probar sólo la convergencia de $\lVert a^n \rVert^{1/n}$ sin depender de la prueba que se describe aquí. Así que no hay prueba de que es igual a la forma del espectro de radio, sino simplemente una prueba de que converge.

Answer 1

Puede reemplazar el teorema de Liouville por lo que se usa para probar el teorema de Liouville, es decir, las estimaciones de Cauchy. $|\lambda| < 1/\|a^{-1}\|$,$$R(\lambda) = (\lambda 1 - a)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty - \lambda^n a^{-n-1}$ $ Y en particular$$ -a^{-2} = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\Gamma(r)} \frac{R(\lambda)}{\lambda^{2}}\; d\lambda $ $ donde$\Gamma(r)$ es un círculo orientado positivamente centrado en$0$ con radio$r < 1/\|a^{-1}\|$. Pero si el espectro estuviera vacío, esto sería cierto para todos$r > 0$. Al tomar$r \to \infty$, ya que$\|R(\lambda)\| \le 1/(|\lambda|-\|a\|)$ la norma del lado derecho va a$0$, contradicción.