¿Qué son los fractales "3D Burning Ship"?

Question

Fractal de las imágenes del conjunto de Mandelbrot son bien conocidos. Las parcelas de la Quema de la Nave fractal son un poco menos conocido, pero esta respuesta se analizan estas y otras. Ellos pueden ser vistos por iteración a la siguiente en el plano complejo y registrar el valor del índice $n$ para la última iteración de que cada punto original se mantuvo por debajo de un cierto "escapar de la condición".

He mostrado algunos simple representación de la Quema de la Nave "área de interés" a continuación.

Recientemente he encontrado algunos videos de YouTube y los blogs que muestran representaciones de la "3D de la Quema de la Nave Fractal". Muchos de estos se realiza mediante paquetes de software para la gente que sólo quiere hacer fractal de imágenes. Hay una cierta discusión y algunos ejemplos de esto en este blog. También para el fondo de un vídeo, incluyendo el "gran explainer" de Arthur C. Clarke se puede encontrar aquí.

Pregunta: ¿Qué "3D de la Quema de la Nave fractales"? En su mayoría son el resultado de técnicas gráficas para hacer interesante mirar las cosas, o es esto algo de considerable interés académico. Desde el complejo panel 2D, tengo un presentimiento de que esto es más que el "arte" de un matemático campo de la investigación, pero no sé.

Mandelbrot: $ \ \ z_{n+1} = z_n^2 + c$

La Quema Del Barco: $ \ \ z_{n+1} = \left( \lvert Re(z_n) \rvert + i\lvert Im(z_n) \rvert \right)^2 + c$

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arriba: la Quema de la Nave, $-3, -2i$ $1, 2i$

arriba: la Quema de la Nave, $-1.85, -0.1i$ $-1.65, 0.1i$"Torres de Radio" por encima de este y otros barcos cercanos son generalmente la fuente de los más populares fractal generación de la imagen.

Un Fractal Zoom de Vídeo de la Quema de la Nave: https://www.youtube.com/watch?v=CD9yNFmb2FE

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Un video de un "3D de la Quema de la Nave Fractal": https://www.youtube.com/watch?v=yaPTk-DqT1g

por encima de x2: la Quema de la Nave 3D "Fractales" de aquí.

Answer 1

La fórmula (sin duda más de arte que de ciencia-centrado en mi opinión) parece haber sido desarrollado en 2010 por M Benesi en FractalForums. Esta es una traducción del segundo bloque de código en el primer post de ese hilo en Fragmentarium-sabor GLSL:

#define providesInside
#include "Brute-Raytracer.frag"

#include "Complex.frag"

#group BurningShip3D
uniform bool Julia; checkbox[true]
uniform vec3 JuliaC; slider[(-2,-2,-2),(-1.79,0.02,0.05),(2,2,2)]

const float ER2 = 64.0;
const int Iterations = 20;

bool inside(vec3 position)
{
  vec3 c = Julia ? JuliaC : position;
  vec3 p = position;
  for (int i = 0; dot(p, p) < ER2 && i < Iterations; ++i)
  {
    vec2 victor = vec2(p.x, length(p.yz));
    vec2 bravo = vec2(length(p.xy), p.z);
    vec2 cramden = p.xy;
    float r1 = 1.0 / dot(cramden, cramden);
    victor = cSqr(victor);
    bravo = cSqr(bravo);
    cramden = cSqr(cramden);
    float nx = victor.x;
    float ny = -abs(bravo.y);
    float nz = -abs(bravo.x * cramden.y) * r1;
    p = vec3(nx, ny, nz) + c;
  }
  return dot(p, p) < ER2;
}

Puede haber una distancia estimación de la fórmula posible que haría de trazado de rayos imágenes mucho más eficiente, aunque yo no lo saben.

Answer 2

Todas las fórmulas del fragmento de código de M Benesi cantidad combinada para la transición de la $p:(x,y,z)$ $n:(x_+,y_+,z_+)$para el vector de parámetros $c:(x_c,y_c,z_c)$ \begin{align} x_+&=x^2-y^2-z^2&&+x_c\\ y_+&=-2\sqrt{x^2+y^2}|z|&&+y_c\\ z_+&=-2\frac{|x^2+y^2-z^2|\,|x|\,|y|}{x^2+y^2}&&+z_c \end{align} que no es realmente una sección transversal que correspondería a la "quema" buque de fórmula.

Mientras que superficialmente establecimiento $y=0$ o $z=0$ reduce el primero de los términos a $(x^2-z^2, -2|xz|,0)$ resp. $(x^2-y^2,0,-2|xy|)$, el orden de los términos es incorrecto, los resultados no se encuentran en la misma sección transversal, e incluso la alternancia de las secciones transversales no funciona ya que no requieren $y_c=z_c=0$.

Así que es una combinación de operaciones matemáticas que se traduce en interesantes visualmente las imágenes, pero no hay más profunda de la estructura matemática que hay detrás.