¿Son los límites $\lim\limits_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\,$ y $\lim\limits_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}\,$ ¿Igual?

Question

Consideremos la serie de potencias $$ \sum_{k=1}^\infty a_kx^k. $$ Sabemos que converge cuando $$\lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}|x|< 1\quad\text{or}\quad |x|< \frac{1}{\lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}}$$

Pero la prueba de D'Alembert nos dice que converge si $$|x|< \frac{1}{\lim_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|},$$ por lo que como el radio de convergencia es único, deberíamos tener que $$\lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.$$

He intentado probarlo, pero este resultado me parece extraño. Entonces, si no funciona siempre, ¿cómo podemos tener esos dos límites como radio de convergencia? Supongo que la igualdad de esos dos límites debería ser cierta la mayor parte del tiempo. Entonces, ¿bajo qué condiciones se cumple?

Answer 1

Si el límite $$ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|, $$ existe en $[0,\infty]$ entonces también lo hace $$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} $$ y los límites son iguales.

Sin embargo, si el segundo límite existe, entonces el primero NO TIENE que existir. Por ejemplo $$ a_n=\left\{\begin{array}{lll} 1 & \text{if} & n\,\, \text{odd},\\ 2 & \text{if} & n\,\, \text{even}, \end{array}\right. $$ entonces $$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1, $$ mientras que el primer límite no existe.

En general, $$ \liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le \liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\le \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\le \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \tag{1} $$

Nota. Una consecuencia de $(1)$ es que, si ambos límites existen, entonces son iguales. De hecho, si el límite de la relación existe, entonces límite de la raíz también existe, y sus son iguales. Sin embargo, es posible que el límite de la raíz exista, mientras que el de la proporción no.

Answer 2

Si $\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ existe, también lo hace $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ y tiene el mismo valor: porque entonces, la media geométrica $\sqrt[n]{\prod^n_{k=0}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|}$ tiene el mismo límite. No funciona en la otra dirección.

Answer 3

pista

utilizando la media de Cesaro, demostramos que

$$\lim |\frac {a_{n+1}}{a_n}|=L\implies \lim |a_n|^\frac 1n=L $$

lo contrario no siempre es cierto. por ejemplo

$$a_{2n}=0;a_{2n+1}=e^{-n^2} $$