Me gustaría conocer sus comentarios con el fin de obtener la mayor potencia del número primo$p$ que divide $$ F_p = \ binom {p ^ {n 1}} {p} ^ {N}} {p ^ {n-1}}. $$
Probé la mayor potencia que dividió$F_2$ is$3n$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para $p$ impar y $n\geq 1$, $$ \begin{align*} {p^{n+1}\choose p^n}-{p^n\choose p^{n-1}}&={p^n\choose p^{n-1}}\prod_{\substack{k=1\\p\nmid k}}^{p^n}\frac{p^{n+1}-k}{k}-{p^n\choose p^{n-1}}\\ &={p^n\choose p^{n-1}}\left[\prod_{\substack{k=1\\p\nmid k}}^{p^n}\left(1-\frac{p^{n+1}}{k}\right)-1\right]\\ &={p^n\choose p^{n-1}}\sum_{m\geq 1}(-1)^m p^{m(n+1)}e_m\\ &\equiv {p^n\choose p^{n-1}}\big(-p^{n+1}e_1+p^{2(n+1)}e_2\big)\mod p^{3(n+1)}, \end{align*} $$ donde $e_m$ indica el $m$-th primaria simétrica polinomio evaluado en el set $\{k^{-1}:1\leq k\leq p^n,p\nmid k\}$.
Para $p\geq 5$ tenemos $e_1\equiv 0\mod p^{2n}$ $e_2\equiv 0\mod p^{n}$ (la primera declaración se puede encontrar en la página de Wikipedia para Wolstenholme del Teorema, la segunda instrucción es similar). Lucas Teorema implica la potencia más grande de $p$ dividiendo ${p^n\choose p^{n-1}}$$p$, por lo que llegamos a la conclusión de que $p^{3n+2}$ divide ${p^{n+1}\choose p^n}-{p^n\choose p^{n-1}}$. Un mayor poder de $p$ es posible sólo si $e_1\equiv 0\mod p^{2n+1}$, lo que ocurre precisamente cuando el numerador del número de Bernoulli $B_{p-3}$ es divisible por $p$. Sólo dos primos con esta propiedad son conocidos: $16843$$2124679$.
