Pregunta trivial sobre la diferencia de conjuntos: ¿ $B\subseteq A$ implica $B\setminus\{x\}\subseteq A\setminus\{x\}$ ?

Question

Supongamos que tenemos dos conjuntos $A$ y $B$ con $B \subseteq A$ ¿se deduce que

$$ B \setminus \{ x \} \subseteq A \setminus \{ x \} $$

No puedo encontrar un ejemplo contrario, así que asumo que esto es cierto en general.

Answer 1

Supongamos que $y\in B\setminus\{x\}$ . Entonces $y\in B$ y, como $B\subseteq A$ tenemos $y\in A$ . Además, $y\in B\setminus\{x\}$ implica que $y\neq x$ y así $y\in A\setminus\{x\}$ . Por lo tanto, $B\setminus\{x\}\subseteq A\setminus\{x\}$ .

Answer 2

Si $b\in B\setminus \lbrace x\rbrace$ entonces $b\in B$ y $b\neq x$ . Desde $B$ es un subconjunto de $A$ entonces sabemos que $b\in A$ . Así que $b\in A$ y $b\neq x$ por definición se deduce que $b\in A\setminus \lbrace x\rbrace$ .

Answer 3

La declaración $B\subseteq A$ significa que cada miembro de $B$ es miembro de $A$ . La cuestión es entonces si cada miembro de $B\smallsetminus\{x\}$ es miembro de $A\smallsetminus\{x\}.$

Supongamos que $y$ es miembro de $B\smallsetminus\{x\}.$ Entonces $y$ es miembro de $B$ y $y\ne x.$ Desde $y$ es miembro de $B$ y cada miembro de $B$ es miembro de $A$ se deduce que $y$ es miembro de $A.$ Y sigue siendo cierto que $y\ne x.$

Así, cada miembro de $B\smallsetminus\{x\}$ es miembro de $A\smallsetminus\{x\}.$

Answer 4

Para dos conjuntos cualesquiera $A,B$ la relación $B \subseteq A$ equivale a $B \cap A=B$ dejar $X$ sea el complemento de $\{x\}$ en $A \cup B \cup \{x\}$ Así que $A\setminus\{x\} = A \cap X$ y $B\setminus\{x\} = B \cap X$ . tenemos $$ (A\setminus\{x\}) \cap (B\setminus\{x\}) = ( A \cap X) \cap (B \cap X) = (A \cap B) \cap X = B \cap X = B\setminus\{x\} $$ por lo que $$ B\setminus\{x\} \subseteq A\setminus\{x\} $$