generador del grupo cíclico : $(\mathbb{F}_p^*, \times)$

Question

Me gustaría demostrar que existe un elemento $m$ en el grupo cíclico : $$(\mathbb{F}_p^*, \times)$$ con $p \geq 3$ primo tal que $m$ y $4m$ son generadores de este grupo.

Sin embargo, no sé en absoluto cómo proceder, cualquier pista o ideas son bienvenidas :)

Answer 1

Creo que exageré con la conjetura de Bunyakovsky :-), la afirmación de que en realidad es una aplicación fácil del teorema del recordatorio chino.

En la notación del comentario de @DerekHolt, escriba $p-1=2^{n_0}p_{1}^ {n_1}\cdots p_{r}^{n_r}$ donde $p_i$ es un primo impar para $i=1,2,\ldots,r$ . Puesto que cada $\mathbb{Z}/p_i \mathbb{Z}$ tiene al menos ese $3$ existen elementos $a_i$ tal que $a_i \not\equiv0,-2j \,\,(\text{mod} \, p_i)$ . Ahora toma $k$ tal que $k\equiv1 \,\,(\text{mod} \, 2)$ y $k\equiv a_i \,\,(\text{mod} \, p_i)$ entonces $k$ y $k+2j$ son coprimos de $p-1$ (porque $k\equiv a_i \not\equiv0,-2j \,\,(\text{mod} \, p_i)$ y ambos $k$ y $k+2j$ son impar ).