Como por Ashkan petición, voy a poner algunos detalles acerca de la conjetura de Chebyshev, y un enlace fuerte de una formulación que pido aquí:
Es posible crear una partición de un real espacio de Banach en cerrado la mitad de las líneas?
Dado un espacio métrico $(X, d)$ y un subconjunto $S \subseteq M$, podemos definir la distancia desde un punto de $x \in X$$S$$d_S(x) = d(x, S) = \inf_{y\in S} d(x, y)$. Los puntos en $Y$, si los hubiere, que logran este infimum forman el conjunto de métricas proyecciones de $x$ a $S$, a menudo denotado $P_S(x)$. Esto hace que $P_S$ un conjunto de valores de mapa con un cerrado gráfico.
Un conjunto $S$ que $P_S$ está en todas partes solo valor es conocido como una de Chebyshev establece. Una notable familia de Chebyshev conjuntos son cerrados conjuntos convexos en espacios de Banach reflexivo (la propiedad de que todos los conjuntos convexos cerrados son de Chebyshev en realidad caracteriza a la reflexividad, por James Teorema).
La conjetura de Chebyshev es más comúnmente se plantea de la siguiente manera:
"Si $C$ es una de Chebyshev subconjunto de un espacio de Hilbert $X$, $C$ es convexa."
También hay una versión más fuerte, donde la condición de "espacio de Hilbert" es reemplazado por "suave, reflexivo espacio".
Uno muy famoso papel en la (débil) conjetura fue publicado por Asplund en 1969 llamado Cebysev Conjuntos en Espacios de Hilbert. Asplund, presenta la siguiente:
- Dado un conjunto $S \subseteq X$ (no necesariamente convexa o de Chebyshev), un continuo convexa de la función cuya subgradiente en cada punto de $x$ contiene $P_S(x)$. En concreto, esta función es $\phi(x) = \frac{1}{2}\|x\|^2 - \frac{1}{2}d_S(x)^2$.
- Si una de Chebyshev tiene un continuo métrica de proyección, entonces es convexa (por lo que proporciona dos pruebas).
- Dado que no-convexo de Chebyshev establece $C$, existe un cerrado la mitad de espacio- $H$ y el punto de $x$ tal que $x$ no tiene proyección en $C \cap H$. Específicamente, esto nos da una formulación equivalente: "La intersección de dos cualesquiera de Chebyshev subconjuntos de un espacio de Hilbert es también de Chebyshev".
- Él demuestra que la conjetura de Chebyshev es equivalente a la siguiente:
- "Si $S \subseteq X$ es un conjunto con la propiedad de que cada punto tiene un único punto más alejado, a continuación, $S$ es un singleton."
- "No existe un Klee Caverna en la $X$: una de Chebyshev establece que es el complemento de un abierto no vacío, acotado, convexo conjunto."
Para obtener más resultados, ha habido un par de estudios sobre el problema:
- V. S. Balaganskii, L. P. Vlasov, el problema de La convexidad de Chebyshev establece, 1996
- James Fletcher, Warren B. Moros, De Chebyshev Establece, 2014
El primero es básicamente integral, aunque prestados prácticamente ilegible para mí por alguna extraña opciones en la notación. El último es mucho más amigable y geométricamente intuitiva introducción al problema.
Otro resultado interesante, cubiertos en los dos artículos arriba mencionados, es la construcción de un no-conjunto convexo en una incompleta interior del espacio del producto, la que me refiero en mi pregunta.
También vale la pena mencionar que un documento por el difunto gran Jon Borwein en 2006, llamado Proximality y de Chebyshev Establece, en el que se aborda cinco conceptualmente relacionados con problemas abiertos:
- La conjetura de Chebyshev
- El equivalente a la formulación de involucrar más puntos
- El más fuerte de Chebyshev conjetura
- "¿Cada conjunto cerrado en un reflexivo espacio de Banach admitir a un punto más cercano? ¿Qué acerca de rotundo suave renormings de espacio de Hilbert?"
- "¿Cada conjunto cerrado en un reflexivo espacio de Banach admitir proximal normales en un denso conjunto de puntos de límite?"
