Al azar de la Suma de variables aleatorias: Sin sustitución

Question

Tengo los números entre 1 y 100 en una urna. Me saca al azar $h$ muchos ($h$ parámetro fijo) de ellos, sin reemplazo. Mi variable aleatoria de interés es la suma de los mismos.

Todos los enfoques que puedo pensar son iterativo lógica ("Si se hiciera esto, a continuación, dibuje el segundo tiempo,...") y convertirse en inmanejable cuando $h$ es grande. ¿Hay un genérico para calcular el pdf de este RV?

No estoy familiarizado con las funciones características, así que te agradecería un enfoque más si no requiere de esos.

Answer 1

No una respuesta, sino en la simulación con $h = 50$, el pmf parcela,

Tenga en cuenta que el espacio muestral es un entero que los valores no los valores reales.

Edit 1:

No estoy seguro de si una solución de forma cerrada para el pmf se puede obtener. Pero aquí es un enfoque que he probado. Puesto que el orden de las muestras no importa cuando la suma se toma, por lo tanto,

$$x_1 + x_2 + \ldots, x_h = x_{(1)} + x_{(2)} + \ldots, x_{(h)}$$

donde $x_{(i)}$ $i$th el fin de estadística.

Volvamos a fijar la suma a ser $S$. Tenemos que encontrar el número de combinaciones posibles $x{(i)}$'s tales que,

$$x_{(1)} + x_{(2)} + \ldots, x_{(h)} = S$$

sujeto a

$$1 \leq x_{(1)} < x_{(2)} < \ldots < x_{(h)}$$

Introducir $a_1, a_2, \ldots a_{h-1}$ tal que $a_i \geq 1$ y $\forall i\neq 1$, $x_{(i)} = x_{(1)} + a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{i-1}$. A continuación,

$$x_{(1)} + (x_{(1)} + a_{1}) + (x_{(1)} + a_{1} + a_{2}) + \ldots, (x_{(1)} + a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{h-1}) = S$$

$$\implies hx_{(1)} + (h-1)a_{1} + \ldots + 2a_{h-2} + a_{h-1} = S$$

Tome $y_1 = x_{(1)}-1$$\forall i\geq 2, y_i = a_{i-1}-1$. Entonces, nuestro problema se reduce a encontrar las combinaciones de $y_i$'s, tal que,

$$hy_{1} + (h-1)y_{2} + \ldots + 2y_{h-1} + y_{h} = S - \frac{h(h+1)}{2}$$

sujeto a $y_i \geq 0$. El número de combinaciones será igual al coeficiente de $z^{S - \frac{h(h+1)}{2}}$ en

$$(1-z^{h})^{-1}(1-z^{h-1})^{-1}\ldots(1-z)^{-1}$$

Ahora, no estoy seguro de cómo proceder en el futuro, es decir, si una forma cerrada de la solución de la anterior coeficiente puede ser obtenido. Si el valor del coeficiente es$C_S$,$P(x_1+x_2+\ldots+x_h=S) = \frac{C_S}{\binom{100}{h}}$.

Edit 2:

$C_S$ puede ser calculado de cómputo mediante la recurrencia dada en este enlace de la wiki , pero no hay ninguna fórmula general para calcular.

Answer 2

Esta es una respuesta parcial que representa, quizás, el más ingenuo de enfoque (sin trucos).

Llame a $X_1,\dots, X_h$ su empates y $S_h = X_1 + \dots + X_h.$ Ahora \begin{align} p(S_h=n) &= h!\sum_{x_1,\dots x_h} \mathbf{1}(1\leq x_1 < \dots < x_h \leq 100)\mathbf{1}( \textstyle\sum x_i =n)p(x_1,\dots,x_h) \\ &=h!\frac{(100-h)!}{100!} \sum_{x_1,\dots x_h} \mathbf{1}(1\leq x_1 < \dots < x_h \leq 100)\mathbf{1}( \textstyle\sum x_i =n) \\ &= {100 \choose h}^{-1}\left(\text{partitions of }n\text{ with }h\text{ unique parts of size at most 100}\right). \end{align}

Para $n\leq 100 + (\textstyle\sum_{k=1}^{h-1}k)=100+\frac{h\cdot(h-1)}{2}$, la suma plazo puede ser calculada a través de una relación de recurrencia se define aquí: $p_k(n)$.

(tenga en cuenta que el apoyo es$[\sum_{k=1}^hk,\sum_{k=100-h+1}^{100}k]=[h\cdot(h+1)/2, 100k +(h - h^2)/2]$, así que no es mucho).