Expansión de Taylor de $x^x$ $x = 0$

Question

¿Cómo puedo expandir $x^x$ en series de Taylor si no está definido en $x=0$?

$x^x=e^{x \ln x}$, así que cuando me aplique la fórmula de Taylor en $x_0=0$ el primer término $f(x_0)$ no está definido, pero esta es una fórmula donde el primer término es $1$.

¿Cómo es eso posible?

Gracias.

Answer 1

La mano derecha de límite de$x^x$$\lim_{x \searrow 0} x^x = 1$, por lo que uno podría preguntar acerca de la función de $f$ define que el valor de $1$ $0$ $x^x$ en otros lugares donde se define, o simplemente utilizar la convención que $0^0 = 1$. De esta manera, no hay ningún problema con el cómputo de la cero-fin de plazo de la expansión.

Por otro lado, para $x > 0$ tenemos $\frac{d}{dx} (x^x) = (1 + \log x) x^x$, lo $\lim_{x \searrow 0} \frac{d}{dx} (x^x) = -\infty$, y por lo tanto no es de primer orden de aproximación de Taylor a la función.

Ahora, se puede escribir $x^x = \exp (x \log x)$ y así expandir $x^x$ en una serie de una forma ligeramente diferente que converge a$x^x$$x \geq 0$, es decir, $$x^x \sim \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} (x \log x)^k = 1 + x \log x + \frac{1}{2} x^2 \log^2 x + O(x^3 \log^3 x) .$$

Answer 2

Desde $x\ln x\xrightarrow[x\to 0]{} 0$, puede utilizar la expansión de $e^u$ (al $u\to0$) para escribir $$ e^{x\ln x} = 1+x\ln x+\frac{x^2\ln^2 x}{2} + o(x^2\ln^2 x) $$ (y de los términos adicionales si así lo desea; me detuve en el orden de las $2$). Pero que no se sigue inmediatamente del teorema de Taylor. (Y, de hecho, Taylor teorema sólo daría un polinomio de aproximación: aquí, usted consigue términos con logaritmos.)