Hay una variedad que requiere una infinidad de gráficos para cubrirlo?

Question

Por lo tanto, generalmente, de un colector se define utilizando sólo un número finito de gráficos. Una esfera es la gráfica de 2n diferentes funciones continuas, o sólo 2 proyecciones estereográficas. Obviamente, no hay colector compacto que requiere infinitamente muchas cartas, y no puede haber más de countably muchas cartas desde los colectores son de 2º contables, pero ¿hay alguna colector desagradable lo suficiente como para requerir countably muchos gráficos?

Además, si la respuesta es no, lo que si podemos reducir la clase de los gráficos, y la demanda que nuestro colector de ser suave, de analítica, de Riemann, o de otra manera. Ninguno de estos cambios la respuesta?

edit: Debido a Antonios-Alexandros Robotis contra-ejemplo, voy a añadir la estipulación de que un gráfico se define como "un homeomorphism entre un subconjunto abierto de $M$ y un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$".

Answer 1

Si usted está de acuerdo con los colectores que consta de countably muchos de los componentes conectados, luego tomar un sindicato. Por ejemplo, $$ M=\bigcup_{n\in \mathbf{N}}(0,1)\times \{n\}.$$ Este es un colector que requiere countably muchos gráficos. Creo que esto debería funcionar en una multitud de contextos.

EDIT: Gracias a Noé Schweber: Esta solución también requiere la suposición de que las imágenes de nuestra carta dominios son homeomórficos a $\mathbf{R}^n$ algunos $n$; en particular, que ellos no tienen agujeros. Ya que realmente no hay razón para hacer esta suposición, la pregunta no es realmente resuelto.

Answer 2

Probablemente debería dejar esto como un comentario, pero no hay suficiente espacio. Creo que la respuesta es "no". De hecho, creo que en dos cuadros, debería bastar.

Dibujo: Para empezar, parece probable que uno debe ser capaz de cubrir $M$ por una secuencia de bloques abiertos $U_1,U_2,U_3,\ldots$, cada uno de los cuales es homemorphic a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$, de tal manera que cada una de las $U_i$ cruza una incluso número de otros $U_j$. Por lo tanto, el grafo con conjunto de vértices $\mathbb{N}$ y un borde entre el $i \neq j$ siempre $U_i \cap U_j \neq \varnothing$ es un bipartito gráfico. Es decir, podemos partición $\mathbb{N}$$A \cup B$, de modo que todos los bordes ir de$A$$B$. Ahora vamos a $U = \bigcup_{i \in A} U_i$$V = \bigcup_{i \in B} U_i$. Debido a que la propiedad "es homemorphic a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$" se conserva contables distintos sindicatos, $U$ $V$ también están gráfico barrios.