Cómo lidiar con lim sup y lim inf?

Question

Actualmente estoy tomando el primer curso de análisis real siguiente Ross Elemental de Análisis de libros de texto. Cuando me presentaron a lim sup y lim inf, me pareció difícil de manejar para jugar o hacer conclusiones significativas a partir de ellos, porque los términos no son en formas explícitas, pero se encuentran en forma suprema y infima de un conjunto.

Por ejemplo, ¿cómo empezar a abordar este problema: si $\lim \sup |a_n| > 0$, demuestran que, a $\lim \sup |a_n|^\frac{1}{n} \geq 1$. ¿Cuáles podrían ser las primeras ideas que se me debe tratar de pensar en

En general, ¿cómo pueden enfoque lim sup y lim inf, comenzando de forma intuitiva y de trabajo técnicamente?

Answer 1

Mi análisis maestro nos enseñó acerca de estos conceptos, el uso de las ideas de "tiempo" y "con frecuencia". Una secuencia es "eventualmente" en un conjunto si existe alguna $N$ tal que para cada a$n>N$, $a_n$ en el conjunto. Una secuencia de "frecuentemente" en un conjunto si, para cada $N$, existe un $n>N$ $a_n$ en el conjunto.

El paso uno es para meditar en ese párrafo hasta que hace sentido con su comprensión de las palabras "tiempo" y "con frecuencia".

Una vez que tienes eso, $\lim\sup$ funciona de esta manera. A decir $\lim\sup\{a_n\}=c$ significa que la secuencia de $\{a_n\}$ es , finalmente, menos de $c+\epsilon$, y con frecuencia mayor que $c-\epsilon$, para cualquier pequeño $\epsilon>0$.

La primera afirmación, que la secuencia es, finalmente, menos de $c+\epsilon$, significa que no hay acumulación punto de la secuencia estrictamente mayor que $c$. Añadir en el otro hecho, que con frecuencia es mayor que $c-\epsilon$, sabemos que $c$ es un punto de acumulación en sí.

Para $\lim\inf$, solo tienes que activar todos los que en su cabeza. Si $\lim\inf\{a_n\}=c$, $\{a_n\}$ es eventual mayor que $c-\epsilon$, y es con frecuencia menos de $c+\epsilon$, de nuevo por cualquier pequeño $\epsilon>0$.

Una vez que usted tiene estas definiciones en su cabeza, puede tener la intuición de jugar con la práctica de las secuencias que tienen varios tipos de límite de puntos. Usted debe ser capaz de encontrar estos ejercicios en cualquier decente análisis de libros de texto. Si buscas en google "lim sup lim inf práctica de problemas", puede encontrar muchos más.

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Una cosa buena acerca de estos conceptos, "al final" y "con frecuencia", es que puede ser fácilmente adaptado a hablar de otros tipos de límites en las matemáticas, tales como los límites de las secuencias de conjuntos, y posiblemente incluso directa límites de la algebraicas y topológicas de las estructuras, aunque tengo menos experiencia con aquellos, así que no estoy muy seguro.

Answer 2

El número de $\limsup|a_n|$ es el supremum de la acumulación de los puntos de la secuencia $\{|a_n|\}$. Así que si usted dice que $\limsup|a_n|=c>0$, usted sabe que hay una larga $\{|a_{n_k}|\}$ con límite de $c$, y no larga tiene un mayor límite. El primer hecho ya es suficiente para hacer frente a su problema.

Answer 3

Me gustaría escribir aquí $\limsup|a_n|=k$. A continuación,$k>0$. Lo que esto significa es que para cualquier $\delta>0$, $|a_n|>k-\delta$ infinitamente a menudo, pero $|a_n|<k+\delta$ para todos lo suficientemente grande $n$. Así $|a_n|^{1/n}>(k-\delta)^{1/n}$ infinitamente a menudo, pero $|a_n|<(k+\delta)^{1/n}$ para todos lo suficientemente grande $n$. Podemos elegir un útil $\delta$ que nos dicen algo acerca de la secuencia $(|a_n|^{1/n})$?

Answer 4

Una idea para trabajar: $\;\limsup\limits_{n\to\infty}a_n=q>0\;$ significa que $\;q\;$ es el más grande de todos los límites parciales de $\;\{a_n\}\;$ , y, en particular, que existe una larga

$$\{a_{n_k}\}\subset\{a_n\}\;\;\;s.t.\;\;\;\lim_{x\to\infty}a_{n_k}=q$$

y esto último significa que, para $\;\epsilon=\frac q2\;$ , existe, por ejemplo, $\;K\in\Bbb N\;$ que si $\;k>K\;$

$$\;|a_{n_k}-q|<\epsilon\iff 0<q-\epsilon<a_{n_k}<q+\epsilon$$

y a partir de aquí

$$1\xleftarrow[\infty\leftarrow n]{}\sqrt[n]{q-\epsilon}\le\sqrt[n]{a_{n_k}}\le\sqrt[n]{q+\epsilon}\xrightarrow[n\to\infty]{}1$$

Deducir ahora lo que me pediste...