Alguien me puede ayudar con un gráfico: exponencial, pero nunca llega a 1

Question

La siguiente es lo que yo estoy esperando a lograr

Los puntos principales son:

• Que las curvas de
• No puede nunca llegar a $1$
• Cualquier número puede ser suministrada por $X$
• El resultado $Y$ obtiene la mayoría de los 'bang para su buck' anteriormente en el $X$
• $Y$ más allá de un cierto punto (digamos que alrededor de $1$$X$) sube muy lentamente

Soy un desarrollador de videojuegos, y necesito esto para que el aumento de un número X se va, nunca se golpea $1$$Y$, pero al menos hay un poco de espacio para el crecimiento temprano (entre las $0.01$ $0.5$ish en la X). Pensar como 'velocidad' de su personaje... no hay un límite real de lo rápido que un personaje debe factibles de ser capaz de ejecutar, pero si alguien los niveles de seguridad de su capacidad para ejecutar realmente muy alto, no debe ser la disminución de los rendimientos que el total de menores de la forma más rápida de que el juego nunca debe permitir, pero aún permitiendo el crecimiento (por ejemplo, si $X$$10$, debe ser muy, muy cerca de la $1$$Y$, pero todavía debe ser inferior en la $Y$,$20$$X$).

Gracias de antemano por toda su ayuda! Yo no tengo ningún mejor lugar para preguntar esto, así que su ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Considere la posibilidad de un gráfico de la forma $\displaystyle f(x)=1-e^{-kx}$.

Deje $k$ ser positivo.

Digamos que hay un punto en el que el crecimiento se ralentiza más allá de un cierto punto, $a$.

El mayor $k$, el menor $a$ es.

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Así que tengo curiosidad, porque esto me ayudará a responder a su pregunta de forma más precisa y bien, ¿qué es este gráfico que representa?

Está diciendo que el personaje se acelera a medida que se ejecutan, pero no ir más rápido de lo que $1$ m/s? Porque eso es lo que yo entiendo.

O tal vez, es decir que a medida que sube de nivel a tu personaje, que correr más rápido y más rápido? Pero incluso en los niveles superiores, no se ejecutará $1$ m/s, a pesar de que se acercan?

Answer 2

Un par de posibilidades, dependiendo de lo que usted tiene a su disposición:

• $ 1-e^{-kx} $ ( $k>0$ ) será la primera cualquier matemático se recomienda.
• Si usted no tiene $\exp$, $1-2^{-kx}$ (de nuevo, $k>0$) es probablemente más fácil de implementar dependiendo de en qué unidades está trabajando con.
• $\frac{2}{\pi}\arctan{x}$.
• En el más complicado lado, $\tanh{x}$.

Las dos últimas tienen la ventaja de tener un comportamiento similar para los valores negativos, ya que son funciones impares.

Answer 3

Usted puede tratar de una Colina de la función. La función $$ f: x \mapsto \frac{x}{x+h} $$ tiene las siguientes propiedades:

• $f(0)=0$;
• $f$ está en aumento;
• $\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$, lo $f$ enfoques $1$ $x$ crece grande;
• $f(h) = \frac12$, de modo que por la elección de la $h$ parámetro se puede controlar en la que el valor de $x$ la función toma la mitad de su valor máximo.

Ejemplo de $h=1$ (azul), $h=2$ (naranja) y $h=10$ (verde):

Para obtener las funciones de una forma diferente, usted puede experimentar con las funciones de la forma $x \mapsto \frac{x^n}{x^n+h^n}$ donde $n$ es un segundo parámetro. Estas funciones también tienen cuatro propiedades mencionadas anteriormente.

Answer 4

Una de estas soluciones es

$$ f(x) = 1 - e^{-2x} $$

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Ventaja a @Saketh Malyala para proveer la respuesta primero.

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Una familia de curvas: $$ f(x) = 1 - e^{-kx} $$

Answer 5

La función logística $$ f(x)=\frac{1}{(1+e^{-x})^{\alpha}} $$ para cualquier $\alpha>0$ tiene las propiedades deseadas también. A continuación la gráfica de la función al $\alpha=1$. La wikipedia artículo sobre las funciones sigmoides tiene más ejemplos de funciones que tienen una forma similar y las propiedades deseadas.