La pregunta es la siguiente: Se le da un dado de 100 caras. Después de tirar una vez, puede elegir entre recibir el importe en dólares de esa tirada O pagar un dólar por una tirada más. ¿Cuál es el valor esperado del juego? No hay límite en el número de tiradas.
El EV para una tirada de 100 caras es de 50,5, pero el hecho de poder pagar un dólar por una tirada extra complica las cosas. No estoy seguro de cómo proceder.
Si el valor esperado de este juego es $a$ , entonces a una tirada de $X$ puede elegir entre recoger $X$ o pagando un dólar y reiniciando, lo que le da un valor esperado de $a-1$ . Para maximizar el valor esperado, debe tomar $X$ si $X> a-1$ y empezar de nuevo si $X\le a-1$ (realmente no importa lo que hagamos cuando $X=a-1$ ). Obtenemos por tanto $$ a = \frac1{100}\left(\lfloor a-1\rfloor\cdot a+\sum_{k=\lfloor a-1\rfloor+1}^{100}k\right) =\frac1{100}\left(\lfloor a-1\rfloor\cdot a+\frac{100\cdot101}{2}-\frac{\lfloor a-1\rfloor \cdot\lfloor a\rfloor}{2}\right). $$ Encuentro numéricamente (no hice mucha comprobación de código, pero los resultados son algo plausibles) $$a\approx87.3571 $$ que parece ser exactamente (y por supuesto el verdadero resultado debe ser racional) $$a=87\frac{5}{14}.$$ Pero estoy seguro de que se puede hacer la justificación a posteriori, es decir, demostrar que la estrategia que consiste en continuar hasta sacar al menos $87$ le da $87\frac{5}{14}$ como valor esperado.
Para su comodidad, aquí está la línea única del PARI:
solve(a=1,100,sum(k=1,100,max(a-1,k))/100-a)
Si una tirada extra cuesta dos dólares en lugar de uno, el resultado sería $$a=82\frac12$$ en su lugar, y con un coste de sólo $0.1$ dólares sería $$a=96\frac1{10}.$$
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