Cómo solucionar $x^3 - 2x^2 -16x+16=0$?

Question

Cómo solucionar $x^3 - 2x^2 -16x+16=0$ ?

Traté de factor $x^2$ pero no funciona..alguna pista?

Ok traté de uso racional de la raíz y teorema de tener respuesta $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 , \pm 16$, pero mi calculadora da algunos números decimales...

Answer 1

Para resolver el cúbicos, en primer lugar realizar una transformación para eliminar la $x^2$ plazo: dejando $x = y + 2/3$, obtenemos entonces la 'deprimido' cúbicos $$y^3 - \frac{52}{3} y + \frac{128}{27} = 0.$$ Next, recall the triple angle cosine identity: $$4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta = \cos 3\theta.$$ This suggests letting $y = u \cos \theta$ so that $$\begin{align*} 0 &= u^3 \cos^3 \theta - \frac{52}{3}u \cos \theta + \frac{128}{27} \\ &= \frac{u^3}{4} \left( 4 \cos^3 \theta - \frac{208}{3u^2} \cos \theta + \frac{512}{27u^3}\right).\end{align*}$$ Thus if we chose $u = \frac{4 \sqrt{13}}{3}$, it immediately follows that $$\cos 3\theta = - \frac{8}{13\sqrt{13}}.$$ Therefore, the roots are given by $$x = \frac{2}{3} + \frac{4\sqrt{13}}{3} \cos \left( \frac{1}{3} \cos^{-1} \frac{-8}{13 \sqrt{13}} + \frac{2\pi k}{3} \right), \quad k = 0, 1, 2.$$

Answer 2

Si dejamos $\alpha$ ser root, luego dividiendo por $x-\alpha$ deja $$ \left[x^2+(\alpha-2)x+(\alpha^2-2\alpha-16)\right](x-\alpha)=0 $$ Las raíces de la ecuación cuadrática son $$ \frac{2-\alpha\pm\sqrt{68+4\alpha-3\alpha^2}}{2} $$ Desde $f(0)=16$$f(1)=-1$, hay una raíz entre el$0$$1$. Esto implica que las otras dos raíces son reales ya que el discriminante es positivo.

Answer 3

Dado el nivel de la pregunta ha sido fijado en el, es posible que hay un error tipográfico? Si la ecuación es cambiado a, digamos, $$x^{3}-x^{2}-16x+16=0$$ a continuación, la raíz de $x=1$ es obvia.

Answer 4

Puesto que la ecuación no tiene ninguna raíz entera, usted tiene que utilizar métodos numéricos (o la fórmula complicada para las ecuaciones cúbicas).

Las raíces son :

-3.6272

0.9414

4.6858