Distribución de los números palindrómicos

Question

Todos sabemos lo que es un número palindrómico, es un número que es el mismo, independientemente del lado en que lo leamos, por ejemplo $101, 202, 33733, \dots$

También está claro que hay infinidad de números palindrómicos. Lo que me interesa es la frecuencia de los números palindrómicos en intervalos específicos.

Por ejemplo: En el intervalo $[100,999]$ existen 9 números palindrómicos. En $[1000,9999]$ tenemos 90, en $[10000,99999]$ tenemos 252, en $[100000-999999]$ tenemos 333. Los he calculado a mano, ¿es posible utilizar las matemáticas para ello?

¿Cómo se ve esto para intervalos realmente altos, cómo cambia el número de palindrómicos, cuál es la relación entre el intervalo y el número de palindrómicos?

Lo que también me pregunté, tomando un número palindrómico al azar $a\in[1000,9999]$ por ejemplo, cómo podemos invertir el algoritmo de invertir y añadir. Me refiero a lo siguiente: Tomando un número aleatorio, por ejemplo $15$ . Luego lo invierto y lo añado al propio número: $15+51=66$ , entonces obtenemos un palíndromo. Cómo se puede evaluar de cuántas maneras el número $66$ ¿puede ser reicevado? En este caso es obviamente uno, pero ¿cómo sabemos cuántos números diferentes conducen, por ejemplo, al número $5556555$ ?

Answer 1

En el intervalo $[100,999]$ hay $90$ palíndromos. Puedes elegir el primer dígito $9$ formas y el dígito medio $10$ formas. En general, para $n$ números de dígitos hay $$\begin {cases} 9\cdot 10^{\frac {n-2}2} & n \text { even} \\ 9\cdot 10^{\frac {n-1}2} & n \text { odd} \end {cases}$$ palíndromos. De nuevo, puedes elegir el primer dígito $9$ formas y el resto de la primera mitad del número (redondeado para números Impares de dígitos) $10$ formas .

Para conseguir $66$ con la inversión y la adición, puede tener $15,24,33,42,51$ como números iniciales. Para $5556555$ ciertamente puede tener cuatro opciones $(1-4)$ para el primer dígito, seis $(0-5)$ para los dos siguientes, y una opción $(3)$ para el dígito central. A continuación, los tres dígitos inferiores se determinan a partir de los tres superiores. Esto da como resultado $144$ números. Puede que haya más, ya que he evitado llevarlas.

Answer 2

Ver http://mathworld.wolfram.com/PalindromicNumber.html

La primera información que pregunta está contenida en la afirmación de que $$\text{number of palindromes $\le 10^n $ }=\cases{2(10^{n/2}-1) & $ n $ even \\ 11\cdot10^{(n-1)/2}-2 & $ n $ odd }$$

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(Voy a pensar en el algoritmo de inversión y adición si todavía está interesado en eso).

Answer 3

Pues el número de números palindrómicos que hay en un intervalo $[10^n,10^{n+1}-1]$ es en realidad el número de números palindrómicos de tamaño $n$ .

La respuesta a la pregunta depende de la paridad de $n$ . Si se denota la cantidad de números palindrómicos de tamaño $n$ por $p_n$ entonces:

$p_1=10$ y $\forall n\in \mathbb{N}^*, \cases{ p_{2n}=9\times 10^{n-1} \\ p_{2n+1}=10\times p_{2n}=9\times10^n }$