Cómo encontrar esta suma $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1+a_{k}}$

Question

Deje $\{a_{n}\}$ ser la secuencia de los números reales se define por $a_{1}=3$, y para todos los $n\ge 1$, $$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}(a^2_{n}+1)$$ A evaluar $$\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{1+a_{k}}$$

Mi idea 1: desde $$2a_{n+1}=a^2_{n}+1$$ así tenemos $$2(a_{n+1}-1)=(a_{n}+1)(a_{n}-1)\Longrightarrow \dfrac{1}{1+a_{n}}=2\cdot\dfrac{a_{n}-1}{a_{n+1}-1}$$ así que debemos encontrar esta suma $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{1+a_{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2(a_{n}-1)}{a_{n+1}-1}$$ entonces no puedo encontrar esta suma

otra idea: tal vez podamos encontrar esta $a_{n}$ forma cerrada? $$2a_{n+1}-1=(a_{n})^2$$ Quiero dejar $a_{n}=\cos^2{b_{n}}$,por lo que $$\cos{2b_{n+1}}=(\cos{b_{n}})^4$$ entonces no puede seguir las obras.

Answer 1

En primer lugar, observar que $$ a_{n+1} -1= \frac{a_n^2-1}{2} = \frac{(a_n+1)(a_n-1)}{2}, $$ y, en consecuencia, (uno puede fácilmente demostrar que $a_n >1$ todos los $n\ge 1$) $$ \frac{1}{a_{n+1}-1}=\frac{1}{a_n-1} - \frac{1}{a_n+1}. $$ La reescritura de este como $$ \frac{1}{a_n+1} = \frac{1}{a_n-1}-\frac{1}{a_{n+1}-1} $$ Resumiendo esta identidad de $n=1$ $N$tenemos $$ \sum_{n=1}^N \frac{1}{a_n+1} = \frac{1}{a_1-1} - \frac{1}{a_{N+1}-1} $$ Finalmente, se observa que la $a_n \ge n$ todos los $n\ge 1$ (desde $\frac{n^2+1}{2}\ge n+1$ tan pronto como $n\ge 2$) y a la conclusión de que la suma es $\frac{1}{2}$.