El problema, tal y como está no es consistente. Si tomamos el caso de $n=1$ tenemos
$$\int_{-1}^1\frac{|\sin(x)|}{1+\pi^x}\,{\rm d}x = a((b+1)!-c!)$$
El lado derecho se supone que ser un número entero, mientras que el lado izquierdo se evalúa a $\simeq 0.4596$.
Podemos hacer que el problema consistente haciendo un cambio muy sencillo, a saber, la sustitución de $$r(r!) \to \pi r(r!)$$ This makes it plausible that there is a typo and that this is the 'true' problem that the problem-creator meant to ask. However, there might be other ways to do it so I can't say for sure. For example changing $\sin(x)\a \pi\sin(\pi x)$ which was mentioned by Jack in the comments above also works and is in fact equivalent to the $\pi r(r!)$ de reemplazo.
Con el cambio de $r(r!) \to \pi r (r!)$ a de la declaración del problema es fácil de resolver, ya que ya ha hecho la parte difícil de este problema es el uso inteligente de sustitución para reducir la suma abajo a $\sum_{r=1}^n I(r)$ donde
$$I(r) = \int_0^{\pi r(r!)}|\sin(x)|\,{\rm d} x$$
Esta integral se evalúa a $I(r) = r(r!)\int_0^{\pi}|\sin(x)|\,{\rm d} x = 2r(r!)$ y de ello se sigue que
$$\sum_{r=1}^n I(r) = \sum_{r=1}^n 2[(r+1)! - r!] = 2[(n+1)!-1] \implies a+b+c = 4$$
