División con número de 4 dígitos en el denominador

Question

Tengo una pregunta en mi hoja de tarea. La pregunta es la siguiente. $$ \frac{43\cdot93\cdot47\cdot97}{3007}=X $$ Hallar el valor exacto de $X$. Yo he probado un montón, pero no podía encontrar la manera más fácil de hacerlo sin calculadora, que por supuesto, no está permitido en el examen. No hay opciones, solo están pidiendo que el valor de $X$.

Encantaría que si alguien puede ayudar a dar un Método para resolver el problema. Como dije, no sé cómo resolver el problema anterior con la ayuda de calculadoras y ya he encontrado la factorización con la ayuda de calc, pero sin suerte en el modo manual. :(

Gracias de antemano. :)

Answer 1

SUGERENCIA $\;\quad\rm mod \; 97: \:\quad 100 \;\equiv\; 3 $

Por lo tanto $\; 3007 \;\equiv\; 30 \cdot 100 + 7$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\; \;\equiv\; 30 \:\;\cdot\;\: 3 \;\: + \; 7 \;$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\; \;\equiv\; 0$

I. e. echar fuera 97 en analogía a echar fuera a los nueves. Ver también aquí donde me discutir echar fuera 91 del.

Answer 2

(20:30) Primero, notamos que el 43, 47 y 97 son todos los números primos y 93=3x31. Claramente 3 no es un factor de 3007, vamos a ver sobre el resto mediante el buen ol' algoritmo de Euclides.

• 43 es evidente que no (como 43x7=280+21=301, por tanto, 300=43x6+42, y 427 está claro que no es divisible por 43)
• en 47 casos, 300=6x(47+3) por lo tanto el recordatorio es 47-18=29, y de nuevo 297 está claro que no es divisible por 47
• 31 nos da 310=31x10 para 300=9x31+21, y 217 equivale a 31x7. Así que tenemos un divisor, que es 97x31 = 3007

Por lo tanto el resultado es 43x47x3 que debería ser un simple cálculo. (20:38)

A los 8 minutos, se habría tomado el 5 si me gustaría comenzó con 31 :) He tratado de describir mis pensamientos en palabras y no sea muy formal. Espero que sea claro, y eso le dio un poco de información acerca de cómo lo resolví.

Addendum:
Dicen que fue el caso donde no hay factores son comunes, ¿cuál es entonces? Entonces tenemos dos opciones o bien utilizar aproximaciones al notar cómo 97x93 es (95+2)(95-2) y lo mismo con 43x47=(45+2)(45-2) así que sería más sencillo para intentar aproximar 45x45x95x95/3000

O usted puede tomar los números que he calculado con el algoritmo de Euclides cuando esté marcada por los factores comunes y tendrías 3007/43, 3007/47, etc. Por lo que sólo puede multiplicar sus inversos para el resultado.

Answer 3

Esta debe ser una pregunta de opción múltiple que se debe realizar bajo un límite de tiempo... de modo aproximado!

Aquí vamos:

$$\frac{43\cdot 93\cdot 47 \cdot 97}{3007} \approx \frac{50 \cdot 100 \cdot 50 \cdot 100}{3000}$$

Fácilmente podemos reducir esto a $\frac{5 \cdot 100 \cdot5 \cdot 10}{3}$ que simplemente es $\frac{25000}{3} = 8333 \frac{1}{3}$. Esto no es del todo satisfactorio ya que la respuesta es $6063$.

Vamos a ser un poco mas con nuestra aproximación (aunque no dolorosa):

$$\frac{43\cdot 93\cdot 47 \cdot 97}{3007} \approx \frac{40 \cdot 100 \cdot 50 \cdot 100}{3000}.$$

Así, ahora estamos buscando a $\frac{40 \cdot 100 \cdot 5}{3}$ que simplemente es $\frac{20000}{3} = 6666 \frac{2}{3}$. Que deben estar lo suficientemente cerca, pero ya tenemos más información de la que usted puede pensar, porque la verdadera respuesta es menos que ambas de estas estimaciones.

Answer 4

Se puede estimar de esta manera muy quicly:

43*93*47*97 = (50-7).(100-7).(50-3).(100-3) = (50-7).(50-3).(100-7).(100-3)
= (100²/4 - 10.100/2 + 21) * (100² - 10.100 + 21) =
= (100.(25-5)+21) * (100.(100-10)+21) = 
= 2021 * 9021 ≈ 18 000 000 (if needed for aprox: greater error around 20/2000 => 1%

using 3000 instead of 3007 (error 7/3007 around 0,2% so less than 1% previous)

18 000 000 / 3000 = 6000 if needed, you can reduce aproximation 
correcting denominator error (1%) => 6000 + 60 = 6060

Answer 5

El numerador es acerca de $16000000$, por lo que el cociente es acerca de $5300$, dicen más o menos de mil. Ahora me voy a jugar algunos trucos.

El numerador es $-9 \bmod 50$ y el denominador es $7 \bmod 50$, lo $X \equiv 13 \bmod 50$.

El numerador es $6 \bmod 9$ y el denominador es $2 \bmod 9$, lo $X \equiv 3 \bmod 9$. Por lo tanto $X \equiv 213 \bmod 450$. Por lo $X$ sólo puede ser uno de $4263, 4713, 5163, 5613, 6063$, y quizás $6513$.

El numerador es $8 \bmod 11$ y el denominador es $4 \bmod 11$, lo $X \equiv 2 \bmod 11$. Ahora sabemos que el valor de $X \bmod 4950$, que es más que suficiente. Mirando a través de la lista de arriba esto da $X = 6063$.