Encontrar los valores de $k$ que $\sqrt{1+\frac{k}{n}}$ es irracional para todos los $n\in\mathbb N$

Question

Me gustaría encontrar los enteros positivos $k$ que $\sqrt{1+\frac{k}{n}}$ es irracional para todos los $n\in\mathbb{N}$.

Me llevó a esta pregunta cuando yo estaba haciendo un ejemplo para mi clase, y sospecho que esto es cierto sólo para un par de pequeños valores de $k$.

Answer 1

Supongamos $k\ge3$ es un múltiplo de un número impar. Entonces no existe $a,b\in\mathbb{N}$ tal que $k=(2a+1)b.$ $n=a^2b,$ $$\sqrt{1+\dfrac{(2a+1)b}{a^2b}}=1+\dfrac{1}{a}\in\mathbb{Q}$$ Ahora sólo hemos de considerar siquiera la $k$ valores. Supongamos $k$ es un múltiplo de a $8.$ Entonces no existe $a\in\mathbb{N}$ tal que $k=8a.$ $n=a,$ $$\sqrt{1+\dfrac{8a}{a}}=3\in\mathbb{Q}$$

A continuación, sólo tenemos siendo los casos de $$k=1,2,4$$ que pueden ser tratados de forma individual.

Answer 2

Si $k=2^r(2a+1)$$a\ge1$, $\sqrt{1+{k\over n}}$ es racional cuando se $n=2^ra^2$. Si $k=2^r$$r\ge4$, $\sqrt{1+{k\over n}}$ es racional cuando se $n=2^{r-4}9$. Eso deja sólo $k=1$, $2$, $4$, y $8$. Pero $k=8$ es descartado por $n=1$. Así $k=1$, $2$, y $4$ el resto de posibilidades.

Añadido posterior: la Lectura Nilan la respuesta hizo darme cuenta de lo innecesario que era para tratar la $16$ diferente de la $8$. Yo estaba mentalmente bloqueado en el uso de la terna Pitagórica $3^2+4^2=5^2$.