Qué he hecho mal en la siguiente derivación de la energía almacenada en un condensador

Question

¿Qué he hecho mal en la siguiente derivación de la energía almacenada en un condensador?

Si quieres cargar un condensador tienes que quitar electrones de un conductor y llevarlos a otro conductor. Supongamos que en alguna etapa intermedia la carga del conductor positivo es $ne$ (donde $n$ es un número entero positivo y $e=1.6\times 10^{-19}\ coulombs$ ) entonces la diferencia de potencial entre los conductores es $$V=V_{+}-V_{-}=-\int_{-}^{+}\vec{E} \cdot d\vec{l}=\frac{ne}{C}$$ donde $C$ es la capacitancia del arreglo y $V_{+}$ y $V_{-}$ son los potenciales de los conductores positivo y negativo respectivamente.

El trabajo realizado al mover un electrón del conductor positivo al negativo es $$W\left|_{+}^{-}\right.=-e\left[V_{-}-V_{+}\right]=-e\frac{-ne}{C}=\frac{ne^2}{C}$$ Supongamos que se carga el conductor positivo hasta una carga final $Q=Ne$ entonces el trabajo total realizado es \begin {align} W &= \sum_ {n=0}^{N-1} \frac {ne^2}{C}= \frac {e^2}{C} \sum_ {n=0}^{N-1}n= \frac {e^2}{C} \left [ \frac {(N-1)N}{2} \right ]= \frac {N^2e^2}{2C}- \frac {Ne^2}{2C} \\ & = \frac {Q^2}{2C}- \frac {Qe}{2C}. \end {align} Sin embargo, esto contrasta con el resultado habitual de los libros de texto de electromagnetismo, $W=\frac{Q^2}{2C}$ . ¿Este cálculo es erróneo?

Answer 1

Su trabajo es correcto, al igual que su expresión para $W=Q^2/2C - Qe/2C$ . La razón por la que no coincide con la expresión habitual, que deja de lado ese segundo término, es que normalmente el cálculo se realiza utilizando un bit infinitesimal de carga cada vez, y luego se integra. En otras palabras, corresponde a su resultado en el límite de $e/Q\to 0$ - y de hecho su solución se reduce al resultado estándar en ese límite.

Por supuesto, su solución es en muchos sentidos la correcta, ya que la carga está en última instancia cuantificada, y no existe en el laboratorio una cantidad infinitesimal de carga (ni siquiera en la forma en que usted puede hablar, por ejemplo, de un desplazamiento infinitesimal, que en realidad es un código para un cambio de posición finito pero arbitrariamente pequeño). Ha descubierto que la cuantización de la carga significa que el resultado estándar sólo puede ser una aproximación.

La razón por la que la utilizamos es porque normalmente es una muy buena aproximación. Un condensador estándar (más bien pequeño) en una placa de circuito tendrá, digamos, alrededor de un picofaradio de capacidad, y estará sometido a una diferencia de potencial de aproximadamente un voltio, por lo que contendrá alrededor de un picoculombios de carga: $$ Q\cong 10^{-12}\:\mathrm{C} \approx 10^7e. $$ Esto significa que $e/Q$ es del orden de $10^{-7}$ por lo que la expresión habitual $W=Q^2/2C$ tiene una precisión de unas siete cifras significativas. Las correcciones de este orden no suelen ser algo que nos preocupe, así que normalmente podemos dejar de lado el término. Si hacer Si queremos una precisión de más de 7 cifras significativas en esa energía, tenemos que preocuparnos de otras cosas: un valor suficientemente preciso para la capacitancia, por ejemplo, así como una serie de capacitancias e inductancias residuales en todo el laboratorio, entre otros muchos efectos que podrían contribuir en una situación determinada.

Y, como ya habrás adivinado, estos efectos de cuantificación de la carga se vuelven relevantes si tu circuito es lo suficientemente pequeño como para que te importen los efectos de un solo electrón. Sin embargo, si estás en ese régimen, lo más probable es que tengas que hacer las cosas de forma mecánica cuántica para empezar, y eso es un juego completamente distinto, en el que la propia energía se sustituye por un objeto más complicado Sólo para empezar.