curvas características de segundo orden ecuaciones

Question

La lectura acerca de las curvas características de segundo orden ecuaciones, en particular semi-ecuaciones lineales de segundo orden con dos variables independientes:

$a(x,y)u_{xx}+2b(x,y)u_{xy}+c(x,y)u_{y,y}=f(x,y,u,u_{x},u_{y})$ $ $ $ $ $(1)$

Mi libro de referencia, definir la curva característica de a $(1)$, como el de las curvas planas a lo largo de la cual el PDE puede ser escrito en un formulario que contenga sólo el total de los derivados de $u_{x}$$u_{y}$.

No entiendo esta definición (sólo el total de los derivados de $u_{x}$ y $u_{y}$??? ), No sé cómo lo ven de esta, por ejemplo, en la ecuación

$xu_{xx}+2xu_{xy}+xu_{yy}=u_{x}+u_{y}$.

He leído algunas preguntas acerca de la característica de las curvas de aquí, pero no ayuda.

Alguien me puede ayudar? Gracias.

Answer 1

Simplemente significa que el PDE puede tenerse en cuenta en algo de la forma $\prod_i\left(a_i\partial_t^{\alpha_i} +b_i\partial_x^{\beta_i}+c_i \right)$ donde $\beta_i,\alpha_i\in\mathbb{N}$. Así, por ejemplo, la ecuación del calor no es de esta forma, pero la ecuación de onda es. Y una vez que está en esta forma, usted acaba de resolver esta secuencia anidada de problemas característicos.

Si desea ver un ejemplo, consulte cómo Evans se deriva de la solución de la forma más sencilla de la ecuación de onda.

Puesto que usted no ha aceptado, aquí están todos los detalles. El ejemplo de la PDE publicado puede ser factorizado como $$(\partial_x+\partial_y)(x\partial_x+x\partial_y-1)u=0$$ Se resuelve dejando $v(x,y):=(x\partial_x+x\partial_y-1)u$. Luego tenemos a $v_x+v_y=0$ Resolver esto por $v$, y luego resuelve $v=(x\partial_x+x\partial_y-1)u$ u.

Answer 2

Otra definición: Deje $$\sum_{i,j=1}^na_{ij}(x)U_{x_ix_j}+\sum_{i,j=1}^nb_i(x)U_{x_i}+c(x)U=f(x)$$ $$x=(x_1\dots x_n)$$

Una superficie lisa $S:\Phi(x)=0$ con el dominio de $\Phi$ ser un subconjunto del dominio de los coeficientes en la ecuación se llama una característica de la si $\forall x \in S$ $$\sum_{i,j=1}^na_{ij}(x){\partial\Phi\over\partial x_i}(x){\partial\Phi\over\partial x_j}(x)=0$$ Para n=2 se habla de curvas características.

Bajo un doble suave bijective cambio de las variables de $y=y(x)$, la característica de la ecuación transformada es $\Phi((x(y))=0$, donde x(y) es la inversa de cambio.