En términos de lo que está sucediendo físicamente, ¿cómo interpretarías la ecuación dada $V_0 = \frac{Q}{C} + IR?$
Es un replanteamiento de la ley de conservación de la energía en una forma que resulta útil para analizar los circuitos.
Esto se puede ver multiplicando a la derecha por la corriente $I = \frac{dQ}{dt}$ para conseguir
$V_0 \frac{dQ}{dt}= \frac{Q}{C} \frac{dQ}{dt} + IR\frac{dQ}{dt}$
$\frac QC$ es la diferencia de potencial a través del condensador y $V_{\rm C}$ y $V_{\rm R}= IR$ la diferencia de potencial a través de la resistencia.
$V_0 \frac{dQ}{dt}= V_{\rm C} \frac{dQ}{dt} + V_{\rm R} \frac{dQ}{dt} \quad\Rightarrow \quad V_0 \;\Delta Q= V_{\rm C}\; \Delta Q + V_{\rm R} \; \Delta Q$
Lo he escrito en la forma final para que puedas considerar lo que sucede cuando una pequeña cantidad de carga $\Delta Q$ se lleva alrededor del circuito.
$V_0 \;\Delta Q$ representa la cantidad de energía química que se ha convertido en energía eléctrica en la batería.
$ V_{\rm C}\; \Delta Q$ representa la cantidad de energía eléctrica que se almacena como energía potencial eléctrica en el campo eléctrico dentro del condensador.
$V_{\rm R} \; \Delta Q$ representa la cantidad de energía eléctrica convertida en calor por la resistencia.
Así, la energía eléctrica suministrada por la batería es igual a la energía eléctrica consumida por el condensador y la resistencia.
Cuando se resuelve la diferencial para $I$ y $Q$ puedes sustituir esos valores en tu ecuación original e integrar cada término con respecto al tiempo a lo largo de todo el periodo de carga.
Verás que la mitad de la energía suministrada por la pila se almacena en el condensador y la otra mitad de la energía se disipa en forma de calor en la resistencia.
