Para todos los integrable $f:[-1,1]\mapsto \mathbb{R}$ demostrar que $\int_{-1}^1f^2(x)\ge\frac12(\int_{-1}^1f(x))^2+\frac32(\int_{-1}^1xf(x))^2$

Question

Para todos los integrable $f:[-1.1]\mapsto \mathbb{R}$ peove que $$\int_{-1}^1f^2(x)dx\ge\frac12\left(\int_{-1}^1f(x)dx\right)^2+\frac32\left(\int_{-1}^1xf(x)dx\right)^2$$
Gracias de antemano.

Answer 1

Aplicar El Cauchy-Schwarz Desigualdad para las Integrales de la derecha.

Answer 2

Si $f$ es incluso, a continuación, $xf(x)$ es impar por lo que su integral sobre la $[-1,1]$ es cero y la desigualdad se reduce a $$ \int_{-1}^1 f^2(x)dx \geq \frac{1}{2}\left( \int_{-1}^1 f(x)dx\right)^2 $$ y el resultado se sigue de Cauchy-Schwarz.

Si $f$ es impar, entonces su integral sobre la $[-1,1]$ es cero y la desigualdad se convierte en $$ \int_{-1}^1 f^2(x)dx \geq \frac{3}{2}\left( \int_{-1}^1 xf(x)dx\right)^2 $$ y el resultado sigue de nuevo a partir de Cauchy-Schwarz.

Ahora escribo $f=g+h$ $g$ a y $h$ impar.

Nos encontramos $$ \int_{-1}^1 (g+h)^2=\int g^2+\int h^2 + 2\int gh= \int g^2+\int h^2 $$ desde $gh$ es impar.

También $$ \left( \int g+h\right)^2=\left( \int g\right)^2+ \left( \int h\right)^2+ 2 \int g\int h=\left( \int g\right)^2 $$ desde $h$ es impar y $\int h=0$.

Por último, tenemos $$ \left( \int x(g+h)\right)^2= \left( \int xg\right)^2 + \left( \int xh\right)^2+ 2\int xg\int xh=\left( \int xh\right)^2 $$ desde $xg(x)$ es impar y $\int xg=0$.

Sólo queda añadir las dos desigualdades por $g$$h$, para obtener el uno para $f$.

Answer 3

Por Cauchy-Schwarz tenemos

$$\left(\int_{-1}^1f(x)dx\right)^2 \leq 2 \left(\int_{-1}^1f^2(x)dx\right)$$ $$\left(\int_{-1}^1xf(x)dx\right)^2 \leq \left(\int_{-1}^1x^2dx\right) \left(\int_{-1}^1f^2(x)dx\right)=\frac{2}{3} \left(\int_{-1}^1f^2(x)dx\right)$$

Esto demuestra que las desigualdades por pares y los impares funciones.

A continuación, utilice SebastienB de la pista.