Estoy tratando de poner a prueba la convergencia de esta serie de ejercicio 8.15(j) en el Análisis Matemático por el Apostol:
$$\sum_{n=3}^\infty \frac{1}{(\log\log n)^{\log\log n}}$$
He intentado todo tipo de prueba. Sé que debe ser posible utilizar la prueba de comparación pero no tengo idea sobre cómo proceder. Podría usted me acaba de dar una pista?
Tenga en cuenta que, para cada $n$ lo suficientemente grande, $$(\log\log n)^{\log\log n}\leqslant(\log n)^{\log\log n}=\exp((\log\log n)^2)\leqslant\exp(\log n)=n,$$ provided, for every $k$ large enough, $$\log k\leqslant\sqrt{k},$$ an inequality you can probably show, used for $k=\log n$. Hence, for every $n$ large enough, $$\frac1{(\log\log n)^{\log\log n}}\geqslant\frac1n,$$ y la serie...
...diverge.
Para evitar depender de estimaciones precisas, se puede aplicar de Cauchy de la prueba de condensación siempre que uno se tiene que comprobar la convergencia de una serie que contiene varios (iterada) logaritmos. Generalmente, esto funciona bastante bien:
La aplicación de Cauchy de la prueba de condensación, nos encontramos con que la convergencia de la serie
$$\sum_{n \geq 3} \frac{1}{(\log \log n)^{\log \log n}} \tag{1}$$
es equivalente a la convergencia de
$$ \sum_{n \geq 3} \frac{2^n}{(\log n)^{\log n}} \tag{2}$$
No es difícil ver que $$\frac{2^n}{(\log n)^{\log n}}$$
es un incremento (estrictamente positivo) de la secuencia para suficientemente grande $n$, por ejemplo, mediante la comprobación de que
$$\frac{d}{dx} \left(\frac{2^x}{(\log x)^{\log x}}\right) > 0.$$
Esto demuestra que $(2)$ no converge; por lo tanto, $(1)$ no converge.
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