Propiedades de una función multilineal

Question

Tengo una pregunta con respecto a las propiedades de una función multilineal. Esto es para una clase de álgebra lineal. Sé que para una función multilineal,

$$f(c\vec{v}_1, \vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n)=c \cdot f(\vec{v}_1, \vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n)$$

¿Esto implica

$$f(c\vec{v}_1, d\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n)=c\cdot d \cdot f(\vec{v}_1, \vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n)?$$

Es para una pregunta relacionada con una función multilineal $f:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. Estoy dado de ocho valores de $f$, cada uno de los cuales está compuesto de una combinación de tres vectores unitarios. Por ejemplo, $$ f\left ( \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \right ) =e $$

y

$$ f\left ( \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} \right ) =3 $$

o, $f(\vec{e}_1,\vec{e}_1,\vec{e}_1)=e$. Entonces, me piden calcular para diferentes valores de $f$. Por ejemplo,

$$ f\left ( \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 1\\ 5 \end{bmatrix} \right ) $$

En este caso he usado

$$f(\vec{e}_1 + 2\vec{e}_2,\vec{e}_1 + 3\vec{e}_2,\vec{e}_1 + 5\vec{e}_2) = f(\vec{e}_1 ,\vec{e}_1,\vec{e}_1) + f(2\vec{e}_2 ,3\vec{e}_2,5\vec{e}_2)= f(\vec{e}_1 ,\vec{e}_1,\vec{e}_1) + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot f(\vec{e}_2 ,\vec{e}_2,\vec{e}_2)$$

Que, utilizando los valores dados, es igual a $(2)(3)(5)(3) + e = 90+e$. Es normal esto?

Answer 1

Sí. Multilineal significa $f$ es lineal en cada término. Así, en el 3 caso variable.

$$f(cx + x', y, z) = cf(x, y, z) + f(x', y, z)$$ $$f(x, dy + y', z) = df(x, y, z) + f(x, y', z)$$ $$f(x, y, ez + z') = ef(x, y, z) + f(x, y, z')$$

Así que, si usted tiene $f(2x, 3y, 5z)$,

$$f(2x, 3y, 5z) = 2f(x, 3y, 5z) = 2\cdot 3f(x, y, 5z) = 2\cdot 3\cdot 5f(x, y, z)$$.