ejemplos concretos de tangentes paquetes de variedades lisas para espacios estándar

Question

Estoy teniendo problemas para visualizar lo que la topología/atlas de la tangente a bundle $TM$ parece, para un buen colector $M$. Sé que $$\dim(TM)=2\dim(M).$$

Hacer la tangente paquetes de los siguientes espacios tienen ninguna "conocida", es decir, puede ser construido (hasta diffeomorphism) a partir de la conocida espacios $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{S}^n$, $\mathbb{P}^n$, $\mathbb{T}^n$ a través de las operaciones de $\times$, $\#$, $\coprod$?

• $T(\mathbb{S}^2)=?$
• $T(\mathbb{T}^2)=?$
• $T(\mathbb{T}^2\#T^2)=?$
• $T(k\mathbb{T}^2)=?$, $\;\;\;k\in\mathbb{N}$ ($k$-pliegue conectado suma $\#$)
• $T(\mathbb{P}^2)=?$
• $T(\mathbb{P}^2\#\mathbb{P}^2)=?$
• $T(k\mathbb{P}^2)=?$, $\;\;\;k\in\mathbb{N}$ ($k$-pliegue conectado suma $\#$)
• $T(\mathbb{S}^n)=?$
• $T(\mathbb{T}^n)=?$
• $T(\mathbb{P}^n)=?$

($\mathbb{S}^n$ ... n-esfera, $\mathbb{T}^n$ ... $n$-toro $\mathbb{S}^1\times\ldots\times\mathbb{S}^1$, $\mathbb{P}^n$ ... real proyectiva $n$-espacio, $\#$ ... conectado suma)

Estoy haciendo estos ejemplos, así que si hay más ilustrativo, por favor explicar.

Por CIERTO, sé que $T(\mathbb{S}^1)=\mathbb{S}^1\times\mathbb{R}$ de las personas con discapacidad de pensar en él.

P. S. estoy empezando a aprender sobre estas nociones...

ADEMÁS: me acabo de dar cuenta de que se encuentran todos los grupos han trivial tangente paquete, por lo $T(\mathbb{T}^n)\approx\mathbb{T}^n\!\times\!\mathbb{R}^n$.

Answer 1

Si desea describir tangente paquetes, el idioma apropiado es la clasificación de los espacios.

Un vector paquete de $\mathbb R^k \to E \to B$ durante un espacio de $B$ es descrito por un homotopy de clase de mapa

$$B \to Gr_{\infty,k}$$

donde $Gr_{\infty,k}$ es el espacio de todos los $k$-dimensiones subespacios vectoriales de $\oplus_\infty \mathbb R$.

Así, por ejemplo, la tangente paquete de $S^2$ $2$- dimensiones del vector paquete de más de $S^2$, por lo que se describe por un mapa

$$S^2 \to Gr_{\infty,2}$$

$Gr_{\infty,2}$ como un espacio que podría ser llamado $B(O_2)$, la clasificación de espacio de la Mentira de grupo $O_2$, lo que significa que es el cociente de una contráctiles espacio de la libre acción de $O_2$ (creo que de los asociados Stiefel espacio). Así un elemento de $\pi_2 Gr_{\infty,2}$ es equivalente a (a través de la homotopy largo de la secuencia exacta) a un elemento de $\pi_1 O_2$, que es isomorfo a $\mathbb Z$.

es decir, 2-dimensional vector de paquetes de más de $S^2$ son descritos por un número entero.

No hay otra manera de ver la anterior construcción. Descomponer $S^2$ en la unión de dos discos, la parte superior e inferior del hemisferio. A través de pull-backs este se descompone $TS^2$ a (hasta un isomorfismo) $D_u \times \mathbb R^2$ $D_l \times \mathbb R^2$ donde $D_u$ $D_l$ son de la parte superior e inferior de hemi-esferas, respectivamente. $\partial D_u = \partial D_l = S^1$. Así que hay que encola la construcción de un mapa

$$ TS^2 = (D_u \times \mathbb R^2) \cup (D_l \times \mathbb R^2) $$

No hay un mapa que describe cómo el punto en $\partial D_l \times \mathbb R^2$ tiene que estar pegado a puntos en $\partial D_u \times \mathbb R^2$, y tiene la forma

$$(z,v) \longmapsto (z,f_z(v))$$

donde

$$f : S^1 \to O_2$$

El homotopy de clase de este mapa es de nuevo descrita por un número entero. Estos son los mismos dos números enteros. Un divertido cálculo de la muestra es de dos, la característica de Euler.

La historia anterior es trabajado en más detalle en Steenrod, el libro de haces de fibras. También Milnor y Stasheff.

Por el camino, muchas personas tienen problemas inicialmente pensando en tangente paquetes. Son bastante delicados objetos.

Answer 2

Creo operaciones distintas de las de $\times$ son irrelevantes aquí porque los paquetes son localmente estructuras de producto. Así que vamos a restringir sólo a este caso. Entonces usted está en el hecho de preguntar si la tangente paquete puede ser trivial y esto tiene que ver con la topología. La obstrucción a ser trivial es la que viene de el hecho de que el paquete puede "viento" de todo el colector en un no-trivial manera, si el colector es compacto, contenido agujeros, etc. Más precisamente, si la característica de Euler no es cero y el colector es compacto, a continuación, el paquete no puede ser trivial por Poincaré-Hopf índice teorema que demuestra que el campo de vectores en un colector debe tener al menos un cero. Este es el caso, por ejemplo, para $S^{2n}$ (en el caso de $n=1$ la famosa bola Peluda teorema).

Por lo tanto, si queremos conseguir no trivial paquetes compactos colectores, será mejor que nos fijamos en los colectores con la característica de Euler de cero, por ejemplo, tori ${\mathbb T}^n$ que es de hecho trivial. Para ${\mathbb R}^n$ y es fácil demostrar que la tangente del colector es ${\mathbb R}^{2n}$ (tenga en cuenta que la característica de Euler aquí es 1, pero el teorema anterior no se aplica debido a que este no es compacto). Al igual que para cada uno-dimensional colector tenemos un trivial tangente paquete (esencialmente porque sólo uno-dimensional colectores se ${\mathbb R}$$S^1$).

Ambas construcciones son casos especiales de la más general de las familias. Específicamente, cada Mentira grupo tiene un trivial tangente paquete (esto puede ser visto desde el isomorfismo entre el álgebra de la Mentira y de la izquierda-invariante vectorial de los campos). También, cada contráctiles abrir subconjunto $U$ de algunos colector tendrá $TU = U \times {\mathbb R}^n$.

No estoy seguro sobre el caso general, aunque (es decir, si la fuga de Euler característica es también una condición suficiente para el compacto de colectores, etc.). Pero sospecho que la situación puede ser bastante no-trivial y uno necesita las herramientas de topología algebraica para resolver.

Answer 3

Aquí está una concreta perspectiva sobre la tangente paquetes que podría ser de ayuda. Tomar una incrustación de su colector $M$ a $\mathbb{R}^N$ (por Whitney siempre podemos hacer esto). Esto le da una incrustación de $TM$ a $T\mathbb{R}^N = \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^N$ (es inyectiva y usted puede escribir el diferencial para comprobar que es una inmersión). Esto ya le da su espacio de la tangente en el interior de un colector con un gráfico.

Supongamos que $M = f^{-1}(0)$ donde $f:\mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{R}^k$ es un función suave y 0 es un valor regular. A continuación, $M$ $N-k$ dimensiones submanifold de $\mathbb{R}^N$$TM \subset T\mathbb{R}^N$$Df^{-1}(0,0)$.

Por ejemplo, considere la función $f(x_1,\ldots ,x_n) = x_1^2+\cdots +x_n^2$. 1 es un valor regular y $f^{-1}(1)$ $n-1$- esfera con su estándar de incrustación. La derivada de $f$ $(x_1,\ldots ,x_n)$ $1\times n$ matriz $Df_x = 2( x_1 \, x_2\, \cdots \, x_n)$ y el núcleo de este mapa es la set $y\in \mathbb{R}^n$ tal que $y\cdot x = 0$ (estándar de producto interior). Por lo tanto, tenemos una identificación de $TS^{n-1}$ con $$\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2n} | x\cdot y = 0, |x| = 1 \}.$$

La ventaja de esta perspectiva es que las cosas son computables ahora (tales como estructuras geométricas). La desventaja es que esto es computacionalmente en la práctica sólo si usted tiene una sencilla integración en el espacio euclidiano, la descripción no es intrínseca (aunque la tangente paquete es), y no dice bonito cosas abstractas acerca de la tangente paquete.