Poderes cardinales débiles y cardinales singulares

Question

Supongamos que $\kappa > \operatorname{cf}(\kappa)$ . Demuestra que:

i) si $\kappa$ límite fuerte entonces $\kappa^{<\kappa} = \kappa^{\operatorname{cf}(\kappa)}$

ii) si $\kappa$ no es un límite fuerte entonces $2^{<\kappa} = \kappa^{<\kappa} > \kappa$ .

Mis pensamientos:

para i), escriba $\kappa = \sum_{i < \operatorname{cf}(\kappa)} \kappa_i$ con $\kappa_i < \kappa$ para cada i. Entonces, $\kappa^{<\kappa} = \sum_{\lambda < \kappa} \kappa^{\lambda} = \sum_{i<\operatorname{cf}(\kappa)}\kappa^{\kappa_i}$ . Ahora, sabemos que $\kappa^{\lambda} \leq (\sum_{\alpha < \kappa} \alpha^{\lambda})^{\operatorname{cf}(\kappa)}$ Así que $\sum_{i<\operatorname{cf}(\kappa)}\kappa^{\kappa_i} \leq \sum_{i<\operatorname{cf}(\kappa)}(\sum_{\alpha < \kappa} \alpha^{\kappa_i})^{\operatorname{cf}(\kappa)}$ pero no estoy seguro de qué hacer ahora.

para ii) Supongo que un argumento similar al anterior demuestra que $\kappa^{<\kappa}= \kappa^{\operatorname{cf}(\kappa)} > \kappa$ , pero estoy atascado en mostrar $2^{<\kappa} = \kappa^{<\kappa}$ . ¿Cómo es que el mero hecho de saber que para algunos $\mu < \kappa$ $2^{\mu} \geq \kappa$ ¿deducimos la equivalencia?

Answer 1

Para (i), observe que tiene $\alpha^{\kappa_i}<\kappa$ en la notación de su última desigualdad. Esto se debe a que $\kappa$ es un límite fuerte, por lo que $\alpha^{\kappa_i}\leq (2^\alpha)^{\kappa_i}<\kappa$ . Pero entonces, siguiendo su desigualdad, $$\kappa^\lambda\leq \sum_{i<\mathrm{cf}(\kappa)}\left(\sum_{\alpha<\kappa}\alpha^{\kappa_i}\right)^{\mathrm{cf}(\kappa)} \leq \sum_{i<\mathrm{cf}(\kappa)}\kappa^{\mathrm{cf}(\kappa)} = \kappa^{\mathrm{cf}(\kappa)}$$ Envío de $\lambda$ a $\kappa$ obtenemos $\kappa^{<\kappa}\leq \kappa^{\mathrm{cf}(\kappa)}$ y la desigualdad inversa es evidente.

Para (ii), Brian y yo ya hemos argumentado por qué $2^{<\kappa}=\kappa^{<\kappa}$ . Por supuesto, ya que $\kappa$ se supone que no es un límite fuerte, $2^{<\kappa}>\kappa$ debe sostenerse claramente.

Answer 2

(ii) Si $\kappa$ no es un límite fuerte, entonces $\kappa\le 2^\lambda$ para algunos $\lambda<\kappa$ . Por lo tanto, si $\lambda\le\mu<\kappa$ entonces

$$2^\mu=\left(2^\lambda\right)^\mu\ge\kappa^\mu\ge 2^\mu\;,$$

y se deduce que $2^{<\kappa}=\kappa^{<\kappa}$ .