La construcción de un grupo de automorphism hacer un diagrama conmuta

Question

Deje $A,B$ grupos, supongamos que tenemos una epimorphism $p:A \to B$. Deje $\phi \in \operatorname{Aut}(A)$.

¿Existe algún $\varphi \in \operatorname{Aut}(B)$ de manera tal que el siguiente diagrama

\begin{array}{c} A & \xrightarrow{\phi} & A \\ \downarrow{p} & & \downarrow{p} \\ B & \xrightarrow{\varphi} & B \end{array}

los viajes?

Mis pensamientos: Tome $b \in B$. Desde $p$ es surjective, hay algunos $a \in A$ tal que $p(a) = b$ (el que sea posible la no-unicidad de ese $a$ podría ser un problema). A continuación, tratar de definir la $\varphi(b)$$p(\phi(a)) \in B$. Si queremos corregir algunos $a_b \in p^{-1}(b)$ por cada $b$ con las propiedades que $a_{b_1} a_{b_2} = a_{b_1 b_2}$ (**) (no estoy seguro de que podemos hacer esto), entonces la construcción podría funcionar:

$\bullet$ $\varphi(b_1) \varphi(b_2) = p(\phi(a_{b_1})) p (\phi(a_{b_2})) = p(\phi(a_{b_1} a_{b_2}))$. Desde $a_{b_1} a_{b_2} = a_{b_1 b_2}$ $\varphi$ es un homorphism.

$\bullet$ $\varphi$ es tal vez inyectiva y surjective (no he comprobado esto como no estoy seguro de (**)) También podríamos tener la propiedad de que la $\phi^{-1}(\{ a_{b} : b \in B\}) , \phi (\{ a_{b} : b \in B\}) \subseteq \{ a_{b} : b \in B\}$.

Parece ser que hay demasiadas propiedades necesarias para ser verdad!!

Edit: La respuesta es, de hecho, no, como se señaló en la respuesta por user1729, a menos que $\phi( \ker(A \xrightarrow{p} B)) = \ker(A \xrightarrow{p} B)$.

Este ejemplo es sólo para asegurarse de que comprenden la construcción correctamente.

Ejemplo: Supongamos que existe un surjective de morfismos $p:A_1 \times A_2 \to B$ y $\phi: A_1 \times A_2 \to A_2\times A_1 (\cong A_1 \times A_2)$ es sólo una permutación de los factores. El kernel $N$ $p$ puede ser incorporado como $N_1 \times N_2 \subseteq A_1 \times A_2$. A continuación, $\phi(N) = N$ claramente, y así hay un $\varphi$ hacer el diagrama conmuta.

(Es el ejemplo de arriba correcto?)

Answer 1

No. En esencia, usted está afirmando que si $\Phi:A\twoheadrightarrow B$$\operatorname{Aut}(A)\rightarrow \operatorname{Aut}(B)$, que no se sostiene. Sí si el núcleo de $\Phi$ es característico, es decir, si $\phi(N)=N$ todos los $\phi\in\operatorname{Aut}(A)$ (por ejemplo, si $\Phi$ fue el abelinisation mapa). Sin embargo, su proposición no se sostiene en general.

Por lo tanto, aquí hay algunos consejos para encontrar un contra-ejemplo:

Sugerencia:

Tome $A$ $B$ de manera tal que el núcleo de la proyección del mapa de $p=\Phi$ es no característicos.

Spoiler 1:

Tome $A\cong H\times H$, y tome $B=H$ donde $H$ es arbitraria (no trivial!) grupo. ¿Qué debe hacer el automorphism estar aquí? ¿Qué debe hacer el mapa de proyección?

Spoiler 2:

Además, tome $\phi:(g, h)\mapsto (h, g)$ y tomar el mapa de proyección $p:(g, h)\mapsto g$. Por lo $\phi$ swaps de los factores, sino la proyección $p$ sólo se ve en uno de ellos.