Demostrar por contradicción que $(n+1)^3 \not= n^3 +(n-1)^3$ $3$ enteros positivos consecutivos

Question

Demostrar por contradicción de que si $n-1$, $n$, $n+1$ son consecutivos enteros positivos, entonces el cubo de la más grande no puede ser igual a la suma de los cubos de los otros dos.

Asumir que: $$(n+1)^3 = (n-1)^3+n^3$$ $$n^3+3n^2+3n+1=n^3-3n^2+3n-1+n^3$$ $$3n^2+1=-3n^2-1+n^3$$ $$n^3-6n^2-2=0$$

No sé cómo salir de aquí. En lugar de esta solución se considera que dos de los enteros son pares o impares, pero esta idea no ayuda mucho.

Answer 1

$n^3-6n^2-2=0 \implies n^2(n-6)=2$

• $n<6 \implies n^2(n-6)<0$
• $n=6 \implies n^2(n-6)=0$
• $n>6 \implies n^2(n-6)\geq49$

Por lo tanto, $\forall{n}\in\mathbb{N}:n^2(n-6)\neq2$

Answer 2

Ahora, usted sólo tiene que demostrar que la cúbico $x^3-6x^2-2 = 0$ no tiene ningún número entero positivo raíces.

Por el racional teorema de la raíz, la única posibilidad racional de las raíces se $x = \pm 1, \pm 2$. Por lo tanto, el único entero positivo raíces se $x = 1,2$. Es $x = 1$ o $x = 2$ una raíz? Si no, entonces no hay ningún número entero positivo de soluciones de $x = n$$x^3-6x^2-2 = 0$.

Como alternativa, puede utilizar Último Teorema de Fermat, pero que es una exageración.

Answer 3

Esto es un gran engaño

Pero $(n+1)^3 = n^3+(n-1)^3$ está en contradicción con el Último Teorema de Fermat

Answer 4

La gráfica de $f(x)=x^3-6x^2-2$ tiene un cero que se producen en un no-valor entero.