$(0 \leq f' \leq f$ $\mathbb R$ y $f(a)=0)$ $\implies f=0$?

Question

Dado que el $0 \leq f' \leq f$ $\mathbb R$ $f(a)=0\in\mathbb R$ algunos $a\in\mathbb R$, ¿cómo puedo demostrar que $f$ es idéntica a cero? Utilizando el valor medio teorema ingenuamente en realidad no me lleve a nada.

Answer 1

Desde $f'\ge 0$, luego $$ f(x)=f(a)+\int_a^x f'\ge 0 \mbox{ para cualquier } x>un $$ Por el otro lado, $$ f'-f\le0 $$ Entonces $$ 0\ge e^{-t} [\f'-f\,]=(e^{-t}f)' $$ Por lo tanto $$ e^{-x}f(x)=e^{-a}f(a)+\int_a^x (e^{-t}f(t))'\le 0 \mbox{ para cualquier } x>un $$ Así, por $x>a$, $0\le f(x)\le 0$.

Para $x<a$ misma idea.

Answer 2

Sugerencia: Suponga $a + 1 > x > a$. Entonces

$$f(x) = f(x) - f(a) = f'(c)(x-a)$$

Para algunos $c \in (a,x)$. Pero

$$f'(c)(x-a) \leq f(c)(x-a) = (f(c) - f(a))(x-a) = f'(d)(c-a)(x-a)$$

Para algunos $d \in (a,c)$. Supongamos $f'$ está delimitado por $M$ $[a-1,a+1]$ (tenga en cuenta que $f'$ es limitado en este conjunto desde $f$ es continua tan limitado en un conjunto compacto, y $f' \leq f$). Entonces

$$0 \leq f(x) \leq M (x-a)^{n}$$

para todos los $n$, e $0 \leq x - a < 1$. Deje $n \to \infty$. Se puede repetir este argumento para demostrar que $f$ es idéntica a cero?