Para una variedad afín $X=V(x^{2}+y^{2}-1, x-1)$, he encontrado el ideal de $X$, $I(X)=\langle x-1,y\rangle$. Pero no sé $I(X)=\langle x^{2}+y^{2}-1, x-1\rangle$.
Respuesta
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Es falso que el $I(X)=\langle x^2+y^2-1,x-1\rangle$. El ideal de $\langle x^2+y^2-1,x-1\rangle$ es igual a $\langle x-1,y^2\rangle$, debido a $x^2-1=(x+1)(x-1)$ puede ser eliminado, sino $\langle x-1,y^2\rangle$ no es igual a $\langle x-1,y\rangle$.
Esto está muy bien, a pesar de tener otra mirada en el Nullstellensatz: $$I(V(J))=\text{rad}(J)$$ donde $\text{rad}(J)$ es el radical del ideal de la $J$. En general, es cierto que $\text{rad}(J)\supseteq J$.
¿Por qué el radical de $\langle x-1,y^2\rangle$ es igual a $\langle x-1,y\rangle$?
Sugerencia: puede ayudar a demostrar primero que $$\text{rad}(J_1+J_2)=\text{rad}(\text{rad}(J_1)+\text{rad}(J_2))$$ para cualquier ideales $J_1$$J_2$.
