Lo que los grupos pueden ser dio cuenta de que la isometría del grupo dos de la esfera?

Question

Con respecto a $S^2 \subseteq \mathbb{E}^3$ como una de Riemann colector heredado la métrica Euclidiana de espacio de tres, entonces es bien sabido que el grupo de isometría es $O(3)$. Lo que me resulta curioso, sin embargo, es la siguiente: Dada una Mentira grupo $G$ (de dimensión $\le 3$), cuando puedo encontrar una métrica de Riemann en $S^2$ que $G$ es el grupo de isometría? Por lo que los grupos es esto posible? (Debe haber otros candidatos para el grupo de isometría de $S^2$ como arbitraria métrica resultaría casi ciertamente en el trivial grupo de isometrías.)

La pregunta parece ser directa suficiente, pero no tengo conocimiento de ninguna de recursos o trabajar en el problema. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Estoy oxidado en todo esto, así que espero que alguien pueda señalar cualquier error en mi razonamiento.

Por uniformización, cada métrica en $S^2$ es de conformación para la ronda de métrica; por lo que la orientación de la preservación de la isometría grupo debe ser un compacto subgrupo de Möbius grupo. Möbius grupo único máxima compacto subgrupo $SO(3)$, y por lo tanto la conformación isometrías debe ser un subgrupo cerrado de $SO(3)$. Lanzando en el anticonformal isometrías debe mover este a $O(3)$.

Ahora, el cierre de los subgrupos de $O(3)$ son Mentira subgrupos; que yo creo que en este caso puede ser clasificado como $S^1 \times C_2$, $S^1$ o discretas (que es el mismo como finito en un grupo compacto). Podemos realizar todas estas como isometría grupos de una métrica de la esfera:

• para obtener $S^1 \times C_2$, tomar el estándar métrico y engordar una banda alrededor de la línea ecuatorial.
  • para reducir esta a solo $S^1$, agregar un bulto en uno de los polos.
• para cualquier subgrupo finito $H\subset O(3)$, tomar el estándar métrico y agregar un bulto en cada punto en un $H$-órbita.

Así, la isometría grupos de métricas en $S^2$ son exactamente los subgrupos cerrados de $O(3)$.