El truco de Jouanolou

Question

En Une suite exacte de Mayer-Vietoris es K-théorie algébrique (1972) Jouanolou demuestra que para cualquier cuasi-variedad proyectiva $X$ hay una variedad afín $Y$ que se asigna surjectively a $X$ con fibras de ser afín a los espacios. Esto se utiliza, por ejemplo, D. Arapura para (re)demostrar que la Leray espectral de la secuencia de cualquier morfismos de cuasi-proyectiva variedades está equipado desde el segundo término en un entorno natural mezclado estructura de Hodge.

Aquí es una prueba de al $X$ $\mathbf{P}^n$ sobre un campo $k$: tome $Y$ ser afín a la variedad formado por todos los $n+1 \times n+1$ matrices que son idempotente y tiene rango 1. De hecho esta es afín, ya que está dada por las ecuaciones $A^2=A$, el polinomio característico de a$A$$x^n(x-1)$. Por otra parte, $Y$ se asigna a $\mathbf{P}^n(k)$ mediante la toma de una matriz a su imagen. La preimagen de un punto de $\mathbf{P}^n(k)$ es "el conjunto de todos los hyperplanes que no contengan una determinada línea", que es isomorfo a un espacio afín.

El general (cuasi-proyectiva) caso sigue fácilmente de los de arriba. Sin embargo, no está claro cómo generalizar Jouanolou, el truco de la arbitrarias de variedades. Tampoco está claro (para mí) de que esto es imposible.

1. Hay un análogo de la Jouanolou lema para arbitrario (no necesariamente cuasi-proyectiva) variedades (es decir, reducción separados esquemas de finito de tipo más dicen que un algebraicamente cerrado de campo)?

2. (versión menos de 1 sobre los números complejos) Es, dado un complejo variedad algebraica $X$, una variedad afín $Y$ que se asigna surjectively a $X$ y de tal manera que todas las fibras son contráctiles en la topología compleja? Una respuesta negativa sería especialmente interesante.

3. (la siguiente pregunta es un poco vago, pero si se tiene una razonable respuesta, entonces es probablemente implicaría una respuesta positiva a 2.) Hay un cuasi-proyectiva analógica de la topológicos de la combinación de dos espacios proyectivos? I. e., si $P_1$ $P_2$ son dos espacios proyectivos complejos, hay un cuasi-variedad proyectiva $X$ que "contiene la inconexión de la unión de $P_1$$P_2$, y está formada por todos los afín a las líneas de unirse a un punto en $P_1$ con un punto en $P_2$"?

Edit 1: 1. y 2. las variedades son necesarios para ser conectado (lo que significa que el conjunto de puntos cercanos está conectado en la topología de Zariski; en 2 se podría utilizar la topología compleja en su lugar).

Edit 2: como Vania Cheltsov me explicó, la respuesta a la pregunta 3 es la más probable es que no.

Answer 1

Truco de Jouanolou se ha extendido a los esquemas con una "familia amplia de paquetes de línea" por Thomason; Ver Weibel: algebraico K-teoría de homotopía, proposición 4.4. Esto incluye todas las variedades lisas y más generalmente todas las variedades con grupos de clase local de torsión. Sin embargo, existen variedades adecuadas (dimensión positiva) con ningún no trivial línea paquetes parece posible que en estas variedades no hay haces afín con espacio total afín.

Answer 2

¿Truco de Jounalou es gran verdad? De la parte superior de mi cabeza, no sé nada similar para variedades no quasiprojective o esquemas. Uno ciertamente puede usar lema de Chow para reducir al caso quasiprojective, pero es mucho más sucio...

Answer 3

Bueno, como nadie ha dicho nada, voy a decir que la única cosa que se vienen a la mente, que es bastante elemental. Debería ser suficiente para hacer esto para completar variedades, por lo que restringir a ese caso. La única otra cosa que tengo es que por Chow del lexema, no $\bar{X}\to X$ una variedad proyectiva sobre $X$ y un birational mapa. Así que esto nos dice que a través de un conjunto abierto, todo debería funcionar, por lo que podemos reducir a la excepcional locus. Va a ser en sí mismo un subconjunto abierto de una completa variedad, así que al menos podemos obtener algo como esto para una estratificación de una variedad arbitraria, de modo que si estamos dispuestos a engañar horriblemente, podemos utilizar la inconexión de la unión de estas variedades, para hacerlo, aunque mi pensamiento es que la dimensión del espacio afín más de un punto será semicontinuo en lugar de ser constantes, por lo que es de mucho menos uso. Yo no ver de inmediato cómo obtener una irreductible.

Answer 4

Podría faltar algo acerca de la pregunta 3. He aquí una sencilla construcción:

Considere la posibilidad de un espacio proyectivo $P$ de la dimensión de $\text{dim}\\, P_1 + \text{dim}\\, P_2$ que contiene tanto $P_1$ $P_2$ en posición general. Entonces cada punto de $P-P_1-P_2\ $ se encuentra en exactamente una línea que conecta $x$$P_1$$y\in P_2$. Es este el tipo de combinación que estás buscando?

Acerca de la pregunta 2, tengo una simple cosa que no está claro para mí (ahora publicado como una pregunta):

es una compleja variedad algebraica que es topológicamente contráctiles necesariamente afín?