si $\sum_{n=0}^\infty na_n$ converge, no $\sum_{n=0}^\infty na_{n+1}$ convergen?

Question

Si la suma :$$\sum_{n=0}^\infty n\, a_n$$ converges does it mean that : $$\sum_{n=0}^\infty n\, a_{n+1}$$ converge también?

(Tenga en cuenta que $a_n$ puede ser negativo)

Answer 1

Aviso que esto es suficiente para demostrar que $\sum _{n} a_n$ converge desde

$\sum_{n} (n+1)a_n = \sum_{n}na_n + \sum_{n}a_n$

Esta es una aplicación de Dirichlet de la prueba, $$\sum_{n}(na_n)\cdot \frac{1}{n}$$

Answer 2

Abel con la convergencia de la prueba: Si $\sum_n c_n$ converge y $(d_n)_n$ es un almacén de la monotonía de la secuencia, a continuación, $\sum_nc_nd_n$ converge. Aplicar este con $c_n=na_n$ $d_n=(n-1)/n.$

Answer 3

Dado que el $\sum_{n\geq 1}n a_n$ es convergente, queremos mostrar que $\sum_{n\geq 1}(n-1)a_n$ es convergente así, por lo que es suficiente para mostrar que en la hipótesis de $\sum_{n\geq 1}a_n$ es convergente.

Deje $A_n = 1 a_1 + 2 a_2 + \ldots + n a_n$. Por sumación por partes:

$$ \sum_{n=1}^{N} a_n = \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}(na_n) = \frac{A_N}{N}+ \sum_{n=1}^{N-1} \frac{A_n}{n(n+1)} $$ y $A_n\to C$$n\to +\infty$, por lo tanto $\sum_{n\geq 1}\frac{A_n}{n(n+1)}$ es absolutamente convergente la serie y $\sum_{n\geq 1}a_n$ es convergente (al menos de forma condicional).