Dejemos que $(\Omega,\Sigma)$ ser un $\sigma$ -espacio medible infinito. Sea $\mu,\nu\in \mathcal{M}(\Omega)$ sea $\sigma$ -medidas aditivas en $\Omega$ . Supongamos que nos dan $p,q\in[1,+\infty]$ y una fnción medible $g:\Omega\to\mathbb{C}$ . ¿Qué condiciones en $p,q,g,\mu,\nu$ son necesarios y suficientes para el operador de multiplicación $$ T:L_p(X,\mu)\to L_q(X,\nu): f\mapsto g\cdot f $$ para ser $\langle$ limitado por debajo/mapeo abierto/isometría/mapa cociente $\rangle$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Aquí es mi artículo en el que se responde completamente a la pregunta.
El resultado principal es el siguiente: cada $\langle$ limitado por debajo / isométrico $\rangle$ es invertible por la izquierda y todo operador $\langle$ cartografía abierta / cartografía de cociente $\rangle$ es invertible por la derecha.
Lukas Geyer
Puntos
9607
Excepto en el caso de que el espacio esté formado por un átomo, este operador nunca es una isometría si $p \ne q$ . Si $A$ y $B$ son conjuntos disjuntos con $\mu(A), \mu(B) \in (0,\infty)$ (el "caso trivial" se refiere al caso en que no existen tales conjuntos), entonces existen funciones $f_A$ apoyado en $A$ y $f_B$ apoyado en $B$ con $$ \int |f_A|^p \, d\mu = \int |f_B|^p \, d\mu = 1. $$ Entonces $$ \int |f_A+f_B|^p \, d\mu = 2, $$ por lo que el $p$ -con respecto a $\mu$ de $f_A$ , $f_B$ y $f_A+f_B$ son $1$ , $1$ y $2^{1/p}$ respectivamente.
Si $T$ es una isometría, entonces la $q$ -con respecto a $\nu$ de $T(f_A)$ , $T(f_B)$ y $T(f_A+f_B)$ también tienen que ser $1$ , $1$ y $2^{1/p}$ . Esto implica $$2^{q/p} = \int |g\cdot(f_A+f_B)|^q \, d\nu = \int|g\cdot f_A|^q \, d\nu + \int|g\cdot f_B|^q\, d\nu = 1+1 = 2,$$ para que $q/p=1$ es decir, $p=q$ . Obsérvese que este argumento sigue funcionando para infinitos $p$ o $q$ .
