Límite que implica el muestreo de una suma a lo largo de un conjunto de densidad cero

Question

Este es un problema que surgió en un proyecto de investigación en el que estoy trabajando desde hace tiempo. He preguntado a varias personas y tampoco han podido avanzar en el tema.

Dejemos que $(a_n)$ sea una secuencia de números reales positivos monótonamente decreciente tal que

1. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ ;
2. $\sum_{n=1}^\infty a_n^k = \infty$ para todos $k \in \mathbb{N}$ ;
3. $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1$ .

¿Es cierto que para cada conjunto $S \subset \mathbb{N}$ de densidad cero que

\begin{equation} \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=1}^n \chi_S(i) a_i}{\sum_{i=1}^n a_i} = 0 \end{equation} donde $\chi_S$ es la función indicadora en $S$ ?

He encontrado contraejemplos cuando no se asume la condición tres, pero no estoy seguro de que añadir esta condición sea suficiente para obtener el límite deseado para todos $S$ . Si las condiciones dadas no son lo suficientemente fuertes, ¿qué suposiciones adicionales podemos hacer?

Tenga en cuenta que las secuencias como $a_i = \frac{1}{\log(i+1)}$ tienen la propiedad deseada de que el límite anterior es siempre $0$ .

Answer 1

No es cierto. No demostraré esto en detalle, sino que construiré una secuencia finita provocativa. Luego es fácil de ver, pero muy tedioso de describir, cómo construir un contraejemplo completo concatenando instancias sucesivas de tales secuencias finitas "malas".

Dejemos que $r,f>0$ y $0<d,\epsilon<1$ . Además, deja que $Q$ sea un número entero positivo. Dados todos estos valores, encontraré una secuencia finita $a_1,\ldots,a_N$ y $\xi_1,\ldots,\xi_N$ de longitud arbitraria, tal que

• $a_1 = f$
• $a_1\ge a_n>0$
• $\xi_n\in\{0,1\}$
• $a_N = a_1 e^{-Qr}$
• $\left|\log\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)\right|\le r$
• $\frac{\sum_{k=1}^n \xi_k}{n} \le d \text{ for $ n=1,\ldots,N $}$
• $\frac{\sum_k \xi_k a_k}{\sum_k a_k} \ge \epsilon$ .

[Mnemotecnia: $f$ es el primero, $r$ es el límite de la relación, $d$ es el límite de la densidad].

En otras palabras, no importa el valor de $a_1$ podemos construir secuencias arbitrariamente largas $a_n,\xi_n$ con una densidad arbitraria de $\xi_n$ , $a_n$ limitado por $a_1$ , variación arbitrariamente pequeña $a_{n+1}/a_n$ y un valor final arbitrariamente pequeño $a_N=a_1 e^{-Qr}$ aunque $$ \frac{\sum_k \xi_k a_k}{\sum_k a_k} \ge \epsilon. $$

Para números enteros positivos $P\ge Q$ , $L$ y $H$ definan la secuencia finita $a_1,\ldots,a_N$ donde $N\equiv 2P+L-Q+H$ de la siguiente manera: \begin{eqnarray} a_k &=& f e^{-(k-1)r} \text{ for $k=1,\ldots,P$} \\ a_k &=& f e^{-Pr} \text{ for $k=P+1,\ldots,P+L$} \\ a_k &=& f e^{-(2P+L-k)r} \text{ for $k=P+L+1,\ldots,2P+L-Q$} \\ a_k &=& f e^{-Qr} \text{ for $k=2P+L-Q+1,\ldots,2P+L-Q+H$}. \end{eqnarray} Además, defina $\xi_1,\ldots,\xi_N$ para ser \begin{eqnarray} \xi_k &=& 0 \text{ for $k\le 2P+L-Q$} \\ \xi_k &=& 1 \text{ for $k= 2P+L-Q+1,\ldots,2P+L-Q+H$}. \end{eqnarray}

[Mnemotecnia: $H$ es el número de entradas de $a_n$ en el valor "alto" $f e^{-Qr}$ y $L$ es el número de entradas en el valor "bajo" $f e^{-Pr}$ .]

Observar $$ \frac{\sum_{k=1}^n \xi_k}{n} \le \frac{\sum_k \xi_k}{N} = \frac{H}{N} = \frac{H}{2P - Q + H + L} \text{ for all $ n=1,\ldots,N $} $$ y $$ \frac{\sum_k \xi_k a_k}{\sum_k a_k} \ge \frac{H e^{-Qr}}{2P - Q + L e^{-P r} + H e^{-Qr}}. $$ Supongamos que $L = \lceil\alpha_L H\rceil$ y $P = \lceil\alpha_P H\rceil$ para algunos $\alpha_L,\alpha_P >0$ . De las dos últimas ecuaciones, \begin{eqnarray} \lim_{H\to\infty}\frac{\sum_k \xi_k}{N} &=& \frac{1}{2\alpha_P + \alpha_L + 1} \\ \liminf_{H\to\infty}\frac{\sum_k \xi_k a_k}{\sum_k a_k} &\ge& \frac{e^{-Qr}}{2\alpha_P + e^{-Qr}}. \end{eqnarray} Ahora sólo tienes que elegir $\alpha_P>0$ lo suficientemente pequeño como para que $\frac{e^{-Qr}}{2\alpha_P + e^{-Qr}} > \epsilon$ y luego elegir $\alpha_L$ lo suficientemente grande como para que $\frac{1}{2\alpha_P + \alpha_L + 1}<d$ . De ello se desprende que con $H$ lo suficientemente grande, $L = \lceil\alpha_L H\rceil$ y $P = \lceil\alpha_P H\rceil$ , \begin{eqnarray} \frac{\sum_{k=1}^n \xi_k}{n} &<& d \text{ for $n=1,\ldots,N$} \\ \frac{\sum_{k=1}^N \xi_k a_k}{\sum_{k=1}^N a_k} &>& \epsilon. \end{eqnarray}

Por último, hay que tener en cuenta que podemos hacer $H$ y por lo tanto $N$ , arbitrariamente largo sin romper estas conclusiones. De esta manera, podemos hacer $\sum_{n=1}^N a_n^k>1$ para todos $k=1,\ldots,K$ . Al concatenar sucesivas secuencias finitas que obedecen a esta desigualdad con el aumento de $K$ aseguramos $\sum a_n^k = \infty$ para todos $k>0$ .