Número de formas de poner 3 reinas para que se ataquen entre sí

Question

Jugamos al ajedrez y queremos poner 3 reinas para que se ataquen entre ellas. ¿De cuántas maneras podemos hacerlo?

Sé que para resolver este problema cuando tengo 2 reinas. Veo el tablero de ajedrez como 4 casillas, desde una casilla exterior (las 28 casillas de los bordes y las esquinas) hasta la casilla interior, las 4 casillas del centro del tablero.

Answer 1

$3$ Las reinas de un tablero de ajedrez se atacan entre sí si están en los vértices de un triángulo rectángulo e isósceles. Hay tres posibilidades, según la hipotenusa de dicho triángulo se encuentre en una diagonal, una fila o una columna del tablero. Contarlas no es tan difícil:

• la hipotenusa está en la $a7-b8$ diagonal: $2$ posibilidades (tercera reina en $a8$ ou $b7$ );
• la hipotenusa está en la $a6-c8$ diagonal: $2\cdot\binom{3}{2}$ posibilidades;
• $\ldots$
• la hipotenusa está en la $a1-h8$ diagonal: $2\cdot\binom{8}{2}$ posibilidades;
• htpotenuse estar en el $b1-h7$ diagonal: el mismo número de posibilidades que $a2-g8$ ;
• $\ldots$

Así que si la hipotenusa está a lo largo de una diagonal tenemos $$ 2\left(2\binom{2}{2}+2\binom{3}{2}+\ldots+2\binom{7}{2}+2\binom{8}{2}+2\binom{7}{2}+\ldots+2\binom{2}{2}\right) = 4\left(2\binom{9}{3}-\binom{8}{2}\right) = 560 $$ posibilidades. Supongamos ahora que la hipotenusa está a lo largo de una fila: los puntos extremos de la hipotenusa deben tener el mismo color, por lo que tenemos:

• a lo largo del $A$ ou $H$ línea : $2\binom{4}{2}$ posibilidades;
• a lo largo del $B$ ou $G$ línea : $2\binom{4}{2}+2\cdot 3$ posibilidades;
• a lo largo del $C$ ou $F$ línea : $2\binom{4}{2}+2\cdot (3+2)$ posibilidades;
• a lo largo del $D$ ou $E$ línea : $2\binom{4}{2}+2\cdot (3+2+1)$ posibilidades;

por lo que si la hipotenusa está a lo largo de una fila tenemos $$ 16\binom{4}{2}+4\cdot 3+4\cdot(3+2)+4\cdot(3+2+1) = 152 $$ posibilidades y el número total de maneras de colocar tres reinas en un tablero de ajedrez de forma que se ataquen mutuamente viene dado por: $$ 560+2\cdot 152 = \color{red}{864}. $$