No. de posible densa subconjuntos de un espacio métrico

Question

Deje $X$ ser un espacio métrico ; a continuación, cuál de las siguientes es posible ?

1) $X$ tiene exactamente $3$ subconjuntos densos

2) $X$ tiene exactamente $4$ subconjuntos densos

3) $X$ tiene exactamente $5$ subconjuntos densos

4) $X$ tiene exactamente $6$ subconjuntos densos

Sé que si $X$ tiene una densa subconjunto para algunos $a \in X$ , debemos tener $X \setminus \{a\}$ es denso en $X$ y, a continuación, $\{a\}$ no está abierto en el $X$ ; pero no puedo relacionar este a no. de subconjuntos densos, excepto que si $X$ tiene sólo un número finito de subconjuntos densos, a continuación, la topología de $X$ no puede ser discretos . Por favor, ayudar . Gracias de antemano

Answer 1

Debe ser que $X$ es casi discretos. Porque si $p$ no es un punto aislado de $X$, $C(p) = X \setminus \{p\}$ es abierto y denso. La intersección de un número finito de abiertos densos subconjuntos es abierto y denso como bien.

Si $X$ tiene uno no aislada, en el punto de $p$, $X$ $C(p)$ son los únicos subconjuntos densos (como cada subconjunto denso deben contiene todos los puntos aislados, y esos son los $C(p)$). Así que esto no califica.

Así que si $X$ tiene dos puntos aislados $p \neq q$, luego $X$, $C(p)$, $C(q)$ y $C(p) \cap C(q)$ son los únicos conjuntos densos. Así que 4 de ellos.

Si $X$ tiene 3 sin puntos aislados $p,q,r$, entonces cada denso conjunto contiene a $X\setminus \{p,q,r\}$ (todos los puntos aislados) y podemos agregar cualquier subconjunto de a $\{p,q,r\}$ para obtener diferentes subconjuntos densos, por lo que hemos de 8 de ellos.

De modo que 4 es el único que puede ocurrir, entre su lista. E. g. para la métrica del espacio $X = \{0\} \cup \{\frac{1}{n}: n = 1,2,3,\ldots\} \cup \{2\} \cup \{2 + \frac{1}{n}: n =1,2,3.\ldots\}$ como un subespacio de los reales.