¿Cuál es el papel de la Topología en Matemáticas? Es la Lógica que se necesita en cada una de las áreas de matemáticas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La topología se ocupa de las generalizaciones del concepto intuitivo de "cercanía", como en el punto de $a$ se encuentra cerca del punto de $b$. Lo hace, sin embargo, sin necesidad de una real medida de cercanía, como por ejemplo,$||b-a||$.
Topología por lo tanto tiende a jugar un papel importante en aquellas áreas de las matemáticas, donde el concepto de "cercanía" que se puede aplicar. Análisis de la función, por ejemplo, se ocupa, entre otras cosas, por supuesto) con las muchas formas en que uno puede definir la cercanía de dos funciones.
Pero topología también tiene fuertes conexiones con la teoría de conjuntos, y por lo tanto de la lógica. Es lo que a veces aparece incluso en las zonas donde no es inmediatamente obvio que no hay ninguna significativo definición de "cerrar".
Un bonito ejemplo es el teorema de compacidad en la lógica. En su forma más usual, que el teorema dice que para que un arbitrario (infinito) conjunto de suposiciones lógicas para ser coherente es suficiente para cada subconjunto finito de ser consistentes. Sorprendentemente, hay una topológicos de la interpretación de ese teorema. Mediante la introducción de un adecuado topología en el conjunto de todos los conjuntos coherentes de las fórmulas, el teorema se convierte en equivalente para la compacidad (en el sentido topológico) de un determinado conjunto.
El resto de las conexiones entre la lógica y la topología de surgir a partir del estudio de ultrafilters y redes, que son generalizaciones del concepto de convergencia. Utilizando estos conceptos, uno puede, por ejemplo, construir un modelo de un (arbitrariamente grande!) conjunto de fórmulas si uno asume que cada subconjunto finito de un modelo.
(Fórmula lógica se refiere a la lógica de primer orden aquí)
blindman
Puntos
1456
Usted puede encontrar un montón de información interesante acerca de tu pregunta sobre algunos por debajo de la fuente:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics.html
http://count.ucsc.edu/~rmont/clases/210/Atiyah.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Topology
http://thought1.org/nt100/module3/importance_of.html
http://www.kovalevsky.de/Topology/Introduction.pdf
http://www.amazon.com/History-Topology-I-M-James/dp/0444823751
http://www.math10.com/en/maths-history/math-topology/topology.html
