Números primos y topología

Question

Estaba haciendo unos deberes para mi universidad en los que tenía que demostrar que el conjunto de los números primos era infinito, al igual que hizo Harry Furstenburg considerando la siguiente topología:

Sea $\mathcal{O} \subset \mathcal{P}(\mathbb{Z})$ sea una topología definida como:

$\mathcal{O}:=\{\emptyset\}\cup\{A\subset\mathbb{Z}:A$ es una unión arbitraria de progresiones aritméticas $\}$

Recuerda que una progresión aritmética es un subconjunto $S\subset\mathbb{Z}$ definido como $S:=\{r+nd : n \in \mathbb{Z}\}$ donde $r,d\in\mathbb{Z}$ y $d\neq0$ .

Todo fue bien hasta que llegué a la última pregunta, que lamentablemente no pude ni empezar. Decía:

Es $(\mathbb{Z},\mathcal{O})$ ¿una topología metrizable?

Muchas gracias.

Answer 1

Sólo hay un número contable de progresiones aritméticas, y las progresiones aritméticas forman una base $\mathscr{B}$ para $\mathcal{O}$ por lo que el espacio es segundo contable. Es claramente $T_1$ ya que para números enteros distintos $m$ y $n$ la nbhd

$$\left\{m+k\big(|m-n|+1\big):k\in\Bbb Z\right\}\in\mathscr{B}$$

de $m$ echa de menos $n$ .

Sea $B=\{r+nd:n\in\Bbb Z\}\in\mathscr{B}$ . Si $m\in\Bbb Z\setminus B$ , $\{m+nd:n\in\Bbb Z\}$ es un nbhd abierto de $m$ disjuntos de $B$ Así que $B$ es cerrado. Por lo tanto, el espacio es $T_3$ y segundo contable, por lo que es metrizable por el teorema de metrización de Uryson. De hecho, como es un espacio metrizable contable sin puntos aislados, es homeomorfo a $\Bbb Q$ con la topología habitual.