Diferencia entre pushforward y diferencial

Question

El pushforward de un mapa $F:M \to N$ en un punto $P \in M$ se define como $F_*:T_P(M) \to T_{F(P)}(N)$ donde $$(F_*X)(f) = X(f \circ F)$$

donde $X \in T_P(M)$ .

El diferencial de una función $f$ definido en $M$ en $P$ es $$df_P(X_P) = X_Pf.$$

¿Cuál es la relación? ¿Cómo demostrar que el diferencial se obtiene de la definición pushforward? Presumible para el caso diferencial, $f:M \to \mathbb{R}$ pero no puedo obtener la respuesta.

Answer 1

La confusión puede resolverse entendiendo el difeomorfismo $T_q\mathbb{R}\cong\mathbb{R}$ Cada derivación $C^\infty(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$ basado en el punto $q\in\mathbb{R}$ viene en forma de $t\,\frac{\partial}{\partial x}|_q$ para algunos $t\in\mathbb{R}$ . El difeomorfismo $T_q\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ por lo tanto, se puede pensar en "evaluar la identidad $i:x\mapsto x$ ".

Dejemos que $f:M\to\mathbb{R}$ ser suave. Pensando en $f$ como un mapa de variedades, su derivada $f_\ast:T_p M\to T_q \mathbb{R}$ se define por $f_\ast(X)(g) = X(g\circ f)$ Como tú dices. Ahora observa $$f_\ast(X)(i) = X(i\circ f) = X(f) = df(X).$$