La acumulación de puntos de las secuencias de los límites de las subsecuencias?

Question

Estoy tratando de extraer información útil a partir de la siguiente definición:

Un punto de $x^*$ es un punto de acumulación de la secuencia de $\{x_n\}$ si, para cada conjunto abierto que contiene x , hay infinitamente muchos de los índices, que los elementos correspondientes de la secuencia pertenecen al conjunto abierto.

Me gustaría decir que esto es equivalente a decir lo siguiente:

$x^*$ es un punto de acumulación, si existe una larga $x_{a_n}$ tal que $lim_{n\rightarrow\infty} x_{a_n}=x^*$.

¿Es esto cierto?

Answer 1

Esto no es cierto en general. Si un espacio es la primera contables, es decir, tiene una contables de base en cada punto, a continuación, este resultado es cierto. Métrica espacios son de primera contables.

Para demostrarlo, supongamos $X$ es un primer contables espacio y $A \subset X$. (En su caso, $A = \{x_n : n \in \mathbb{N}$ donde $(x_n)$ es una secuencia.) Deje $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ denotar una contables base en el punto de $x^*$ donde $x^*$ es un punto de acumulación de a $A$. Por definición, de la acumulación de punto, existe una $x_0 \in A$ y $x_0 \in U_0$. $U_0 \cap U_1$ es un conjunto abierto. De nuevo desde $x^*$ es un punto de acumulación, existe un $x_1 \in A$$x_1 \in U_0 \cap U_1$. Seguir esta para crear una secuencia $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Entonces a partir de la $U_n$ es una contables de base, se puede demostrar que $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x^*$. Esto es debido a que, dado cualquier conjunto abierto $U$, existe un $n$ tal que $U_n \subset U$ tal que $x^* \in U_n$ (definición contable de base). Por construcción, para todos los $m > n$, $x_m \in U_n \subset U$.

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En la métrica de los espacios, la prueba es un poco más agradable. Usted puede tomar su contables base a $U_n = B_{\frac{1}{n}}(x^*)$. Así que, usando la definición de la acumulación de punto, acaba de elegir a $x_n$ tal que $x_n \in B_\frac{1}{n}(x^*)$.

Answer 2

Antes de proceder con su pregunta, me gustaría dar un ejemplo interesante de aclarar un punto. Decimos que un conjunto a $Y$ es cofinite en un superconjunto $X$ $Y$ si y sólo si $X\smallsetminus Y$ es finito. Observar que una unión de cofinite conjuntos es cofinite por las leyes de Demorgan (desde una intersección de conjuntos finitos es finito), y que un número finito de intersección de cofinite establece, asimismo, es cofinite (desde una unión finita de conjuntos finitos es finito). En consecuencia, podemos describir una cofinite topología en cualquier conjunto $X$, diciendo que $Y\subseteq X$ está "abierta" si y sólo si $Y$ es cofinite o $Y$ está vacía. Aquí es donde se pone interesante: Si $X$ es un conjunto infinito con el cofinite topología, a continuación, una secuencia de puntos converge para cada punto de $X$ si y sólo si tiene un número infinito de términos distintos-por ejemplo, la posibilidad de $\Bbb R$ en el cofinite topología, las secuencias de $1,\frac12,\frac13,\frac14,...$ $1,0,\frac12,0,\frac13,0,...$ convergen a cada punto de $\Bbb R$!!

En estos (y otros) problemática de los espacios, no tenemos la singularidad de la secuencia de los límites, por lo que decir $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ no es significativo en general, incluso si se sabe que $\{x_n\}$ converge. Para evitar esto, es suficiente (pero no necesaria) que un espacio Hausdorff.

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Digamos (para distinguir entre las dos definiciones) que $x^*$ es un clúster punto de $\{x_n\}$ si es un punto límite de algunas larga de $\{x_n\}$. Nota que dije un punto límite--la discusión anterior demuestra por qué es relevante. Esto generaliza su propuesta alternativa de la definición de "acumulación punto" a general de espacios.

Ahora supongamos $x^*$ es un clúster punto de la secuencia $\{x_n\}$. Tomar cualquier conjunto abierto $U$ contiene $x^*$. Desde $x^*$ es un clúster punto de $\{x_n\}$, entonces hay algunas $\{x_{n_k}\}$ tal que $x_{n_k}\to x^*$. A continuación, para lo suficientemente grande $k$, cada una de las $x_{n_k}\in U$, por definición de la secuencia de convergencia, lo que implica que existen infinidad de $x_{n_k}$ (y así infinitamente muchos $x_n$)$U$. Por lo tanto, cada clúster punto es un punto de acumulación.

Como se señaló anteriormente, el recíproco no necesita tener, en general, por lo que están relacionados, pero no suele ser equivalente conceptos. De nuevo, como se señaló anteriormente, la primera countability es suficiente para establecer la equivalencia de los dos conceptos (y puede ser necesario, también, pero no estoy seguro de eso).

Answer 3

Si usted está interesado en un contraejemplo, aquí está:

Por simplicidad supongamos que la secuencia de $s$ es sólo $(0,1,2,\dots)$ $a\notin{\bf N}$ es fresco elemento, nos gustaría construir una topología $\tau$ $\{a\}\cup{\bf N}$ tal que $(i)$ $a$ es punto límite de $s$ $(ii)$ no subsequence de $s$ converge a $a$. Supongo que $\tau$ es generado por $\{n\}$ $n\in{\bf N}$ $\{a\}\cup X$ $X\in{\cal X}$ con ${\cal X}\subseteq{\cal P}({\bf N})$ a ser descubierto todavía. Si ${\cal X}$ es un filtro, a continuación, los barrios de $a$ son exactamente los conjuntos de $\{a\}\cup X$$X\in{\cal X}$, lo que también voy a asumir.

Condición de $(i)$ exige que cada una de las $X\in{\cal X}$ es infinito. Asumir la condición de $(ii)$ no estaban satisfechos, a continuación, algunos subsequence $s'$ $s$ tendría una cola que viven en $X$ por cada $X\in{\cal X}$, es decir, si llamamos a $X'$ el resultado de la suma de a $X$ el un número finito de elementos de $s'$ no $X$ $s'$ vive completamente en $A:=\cap_{X\in{\cal X}} X'$.

Tome ${\cal X}$ libre de ultrafilter, donde gratis significa vacío intersección. A continuación, todos los conjuntos en ${\cal X}$ son infinitas. Desde $A$ es infinito, podemos quitar countably muchos elementos, pero también dejar countably muchos en su lugar, el ultrafilter propiedad asegura que este nuevo conjunto o su complemento es la contenida en ${\cal X}$, en cualquier caso, algunos de $B$ que carece de countably muchos de los elementos de $A$. Pero nuestra construcción nos dice que $A$ debe estar contenida en $B'$, una contradicción, por lo tanto la condición de $(ii)$ también está satisfecho.