La prueba de la recta tangente teorema de adición de números complejos

Question

¿Cómo puede la tangente teorema de adición de números complejos

$$\tan(z+w) = \frac{\tan z + \tan w }{1 - \tan z \tan w}$$

ser demostrado?

Para los números reales, la página de wikipedia dice que uno puede utilizar la fórmula de Euler

$$e^{ix} = \cos x + i\sin x.$$

Pero no estoy de ver si y cómo esto nos ayuda suponiendo que los números complejos también.

Así que yo sería feliz si alguien me pudiera dar una pista para empezar.

Answer 1

la prueba es el mismo que para los números reales. Usted no necesita convencerse a sí mismo de los dos, además de las fórmulas de más de $\mathbb C,$ es decir $$ \sin(z + w) = \sin z \; \cos w + \cos z \; \sin w, $$ con $$ \cos(z+w) = \cos z \; \cos w - \sin z \; \sin w. $$ Estos seguir a partir de identidades, tales como $$ \cos z = \frac{e^{iz} +e^{-iz} }{2} $$ y $$ \sin z = \frac{e^{iz} -e^{-iz} }{2i}. $$ Entonces, lo mismo que para los reales, escribe la fracción $$ \tan(z+w) = \frac{\sin(z+w)}{\cos(z+w)} $$ y divide el numerador y el denominador por $\cos z \; \cos w.$

Answer 2

Una forma de hacerlo sería la de extender la identidad a partir del caso real mediante la analiticidad. Vamos

$$ f(z,w) = \tan(z+w) - \frac{\tan z+\tan w}{1-\tan z\tan w}$$

Voy a tomar tu palabra de que esto es idéntica a cero en $\mathbb R\times\mathbb R$. Temporalmente solucionar $z_0\in\mathbb R$ y considere la función $w\mapsto f(z_0,w)$. Esta es una función de meromorphic $w$, y puesto que es idéntica a cero para $w\in \mathbb R$, es en realidad cero para todos los $w$.

Por lo $f$ es cero en $\mathbb R\times \mathbb C$. Ahora fix $w_0\in\mathbb C$ y considerar la posibilidad de $z\mapsto f(z,w_0)$ . . .

Answer 3

Sugerencia: $\tan(z+w) = \frac{\sin(z+w)}{\cos(z+w)} = {\frac {-i \left( {{\rm e}^{i \left( z+w \ \ derecho) }}-{{\rm e}^{-i \left( z+w \ \ derecho) }} \right) }{{{\rm e}^{i \left( z+w \ \ derecho) }}+{ {\rm e}^{-i \left( z+w \ \ derecho) }}}} $ and assume $z=x+iy$ and $w=u+iv$, and work out your proof. It is a good idea to work the left hand side, then the right hand side, and then compare the results. I think it is easier to work with the exponential function than working with sine and cosine functions. Otherwise, you need to use some identities like $\sin(a+B)$ and $\cos(a+B)$, since you have to work out like this function $ \sin((x+u)+i(y+w) ) $. Aquí es lo que usted debe conseguir en ambos lados,

$$ {\frac {4\,\sin \left( x+u \right) \cos \left( x+u \right) {{\rm e}^{2 \,y+2\,v}}-i+i{{\rm e}^{4\,y+4\,v}}}{ \left( 4\, \left( \cos \left( x+ u \right) \right) ^{2}-2 \right) {{\rm e}^{2\,y+2\,v}}+1+{{\rm e}^{4 \,y+4\,v}}}} \,.$$