Encontrar la suma : $\displaystyle\sum_{i=0}^n \frac{2^i}{1+x^{2^{i}}}$

Question

$\displaystyle\sum_{i=0}^n \frac{2^i}{1+x^{2^{i}}}$

¿Qué técnica es aplicable aquí? No puedo encontrar una manera de manipular esta suma para hacer telescopio. Sólo me guía.

Answer 1

$$\frac{2^{i+1}}{1-x^{2^{i+1}}} = \frac{2^{i+1}}{(1-x^{2^i})(1+x^{2^i})} = 2^i \left ( \frac1{1-x^{2^i}} + \frac1{1+x^{2^i}}\right )$$

Por lo tanto

$$\frac{2^i}{1+x^{2^i}} = \frac{2^{i+1}}{1-x^{2^{i+1}}} - \frac{2^i}{1-x^{2^i}}$$

Se puede tomar desde aquí?