Función de von Mangoldt

Question

Consideremos la siguiente igualdad %#% $ #%

Por qué es una aproximación de $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{\log n} n^{-s} = -\log(s-1)+ \sum_{\rho} \log(s- \rho) + \dots$ la siguiente: $\Lambda(n)$ $

Usando el hecho de %#% $ #%

tenemos %#% $ #%

Desde aquí, ¿cómo resuelve $$\Lambda(n) \approx 1- \sum_{\rho} n^{\rho-1}$?

Agregó. Hice el %#% $ #%

$$\log (s- \rho) \approx -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\rho-s-1}}{\log n}$$

es decir, intercambiar cantidades para que cada uno suma doble comienza con índice $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{\log n} n^{-s} \approx \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{-s}}{\log n} - \sum_{\rho} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\rho-s-1}}{\log n}$.

Entonces $\Lambda(n)$ $

Añadido Lo solucioné.

Answer 1

Hice el %#% $ #%

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{\log n} n^{-s} \approx \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{-s}}{\log n} - \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{\rho} \frac{n^{\rho-s-1}}{\log n}$$

es decir, intercambiarse suma suma para que cada uno suma doble comienza con índice $$ \approx \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n^{-s}}{\log n} - \sum_{\rho} \frac{n^{\rho-s-1}}{\log n} \right)$.

Entonces $n$ $

$$\Lambda(n) \approx n^{s} \log n \cdot \left(\frac{n^{-s}}{\log n} - \sum_{\rho} \frac{n^{\rho-s-1}}{\log n} \right)$$