En la definición epsilon-delta de límite que es:
Para todos los $\epsilon>0$ allí existe un $\delta>0$ tal que, cuando $|x-a|<\delta$ y $|f(x)-L|<\epsilon$.
Ahora desde $\epsilon$ es y debe ser probado que hay un $\delta$ % dado $\epsilon$, entonces creo que el resto de la definición debería haber sido:
$|f(x)-L|<\epsilon \implies |x-a|<\delta$ .
Por favor me diga si estoy bien o no.
Su propuesta de definición
Para todos los $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que $|f(x)-L| < \epsilon \implies |x-a| < \delta$.
tiene bastantes problemas con ella.
Por ejemplo, supongamos $f(x) = 0$ y considerar la posibilidad de $\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x)$. En cualquier definición razonable de un límite, debemos tener $\displaystyle\lim_{x \to 0}0 = 0$. Así, tenemos que demostrar:
Para todos los $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que $|0-0| < \epsilon \implies |x-0| < \delta$
Por desgracia, $|0-0| < \epsilon$ es cierto para cualquier $x \in \mathbb{R}$, pero $|x-0| < \delta$ es falso para cualquier $x > \delta$. Por lo tanto, nunca hay un $\delta > 0$ que hace "$|0-0| < \epsilon \implies |x-0| < \delta$" una declaración verdadera. Por lo tanto, por su definición propuesta, $\displaystyle\lim_{x \to 0}0$ no $0$.
La forma en que solía pensar es esto: es algo así como un Space Invaders juego (si te acuerdas de aquellos). El enemigo está disparando epsilons en usted. Para cada epsilon que viene a usted, usted tiene que ser capaz de contra por la búsqueda de un delta tal que para todo x tal que |x−a un|<δ, entonces |f(x)−L|<ϵ
Si algunos epsilon llega de tal manera que usted no puede encontrar un delta, usted pierde.
Por ejemplo, supongamos que f(x) = 1 para x < 0.5 y f(x) = 2 para x >= 0.5. (Sí, una función de paso.)
Mira un = 0.5. Intente L = 1.5.
Supongamos ϵ = 1 llega. Entonces usted está bien porque puedes responder con δ = 0.1 (por ejemplo). Para valores de x entre 0.4 y 0.6, los valores de f(x) son 1 o 2, de modo que |f(x) - L| siempre es 0.5, y es cierto que |f(x) - L| < ϵ = 1.
Pero si ϵ = 0.2 llega, entonces no importa cuán pequeño un δ responder con, usted no puede conseguir |f(x) - L| < ϵ = 0.2 para todos los x de entre 0,5 - δ y 0,5 + δ.
Así que usted pierde, y el límite no es L = 1.5.
Con un poco más de esfuerzo, usted puede demostrar que no importa lo que el valor de L se trate de el límite, si ϵ = 0.2 llega, usted pierde.
Así, en este ejemplo el límite de f(x) como x tiende a 0.5 no existe. Intuitivamente, por supuesto que no existe, pero queremos ver cómo la definición de libro de obras para este ejemplo.
La definición en los libros de texto es correcto. Es difícil de entender, pero tal vez a los Invasores del Espacio analogía ayuda.
En primer lugar, le sugiero que aprender la lógica de primer, de lo contrario es muy difícil entender un montón de cosas con rigor. Parece no entender el alcance de los cuantificadores, es por eso que el inglés fraseo, aunque sin ambigüedades, no está claro para usted.
En segundo lugar, hay un error en la definición como la que usted ha escrito.
Permítanme escribir la definición correcta en términos de su estructura lógica, que me sugieren hacer para definiciones y teoremas cuya estructura no entiende a la perfección.
Límite De Definición
$\lim_{x \to a} f(x) = L$ fib:
Para cualquier $ε > 0$:
Para algunos $δ > 0$:
Para cualquier $x \in Dom(f)$:
Si $0 < | x - a | < δ$:
$| f(x) - L | < ε$
Nos vamos a ir a través de él correctamente. El límite de una función $f$ $a$ $L$ significa que no importa lo positivo $ε$ me das, me puede dar un resultado positivo $δ$ de manera tal que el par $(ε,δ)$ tiene una cierta propiedad. Que la propiedad es que no importa lo $x$ me puede dar desde el dominio de $f$, el triple de $(ε,δ,x)$ tiene una cierta otros) de la propiedad, que es que si la distancia entre el $x$ $a$ es de menos de $δ$, entonces la distancia entre el $f(x)$ $L$ es de menos de $ε$. Tenga en cuenta que esta última propiedad no dice nada en absoluto si el triple actualmente en consideración es tal que $x$ $a$ al menos $δ$ aparte.
Entonces, ¿por qué se define de esta manera? Vamos a darle un mayor sentido intuitivo de límite. Podemos ver un paisaje a través de una ventana. Si miramos a través de un paisaje a través de una pequeña ventana, seguramente vamos a no ver más, y para la mayoría de los paisajes naturales de la región se puede ver se convertirá en más y más 'suave' como la ventana se encoge (sobre un fijo en el centro). (En la primera vemos un árbol con ramas y hojas, más tarde, vemos sólo una hoja, más tarde, vemos sólo un parche de un solo color, de color verde.) Si toda la región, que vemos que se acerca más y más en color verde como el de la ventana se reduce, entonces, podemos decir que el límite de color en el 'centro' de la contracción de la ventana es de color verde. Esta no es la definición matemática todavía. Imagine que hay un minúsculo punto en el centro de la ventana, por lo que no podemos ver el color del paisaje allí. El límite es que todavía existe. Pero ¿qué significa "más y más"? Esto significa que no importa lo positivo margen de error que se desea, como la ventana se encoge al tamaño cero, finalmente, el color de la región se puede ver que va a permanecer siempre cerca del límite dentro de ese margen de error. Considerar el paisaje para ser una función de $f$ donde $f(x)$ es el color de la región que se puede ver cuando miramos a través de punto de $x$ sobre la ventana. Llame al centro de la ventana de $a$. Considere el tamaño de la ventana a ser $δ$ y el margen de error para ser $ε$. A continuación, nuestro anterior noción significa que $f$ tiene un límite de color $c$ en su centro $a$ si y sólo si, para cualquier positivos $ε$, podemos encontrar un positivo tamaño de la ventana de $δ$ tal que una vez se achica más pequeño que el tamaño de todos los colores $f(x)$ podemos ver a través de él ($| x - a | < δ$) están dentro de los $ε$ de la de color $c$ ($| f(x) - c | < ε$).
Ahora bien, si la ventana tiene su centro exactamente en el límite de un objeto que es de un color diferente al de su fondo, el límite de color no existe porque no importa cómo es pequeño podemos hacer que la ventana, vamos a ver un poco del objeto y un poco de fondo. Esto corresponde a un salto de discontinuidad en $a$.
También, que no podía ver el color del paisaje detrás del centro de la ventana. Podría ser el mismo color que el límite de color, en cuyo caso $f$ es continua en a $a$. Pero podría ser un color diferente, en cuyo caso $f$ tiene una discontinuidad removible en $a$.
Por último, el paisaje podría haber infinitos detalles que mantiene que varían ampliamente entre los colores (dentro de la ventana), no importa cuán pequeño encoger la ventana. Un ejemplo matemático sería si $f(x) = \sin(\frac{1}{x})$$a = 0$. En este caso, $f$ no tiene ningún límite en $a$, y la discontinuidad no es ni un salto de discontinuidad ni una discontinuidad removible.
Por último, tenga en cuenta que esta analogía con windows y paisajes inmediatamente se aplica el concepto de continuidad en general métrica espacios. Después de todo, tendríamos que definir lo que la distancia entre los dos colores de los medios, pero la idea es muy natural.
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