Prueba $\int_0^\infty \frac{\exp(-\sqrt{x^2+y^2})}{x^2+y^2}dx = \frac{\pi}{2}\left(\frac{1}{y} - K_0(y)L_{-1}(y) - K_1(y)L_{0}(y)\right)$

Question

En este tema se resolvió la siguiente integral

$$\int_0^\infty \frac{\exp\left(-\sqrt{x^2+y^2}\right)}{x^2+y^2}dx = \frac{\pi}{2}\left(\frac{1}{y} - K_0(y)L_{-1}(y) - K_1(y)L_{0}(y)\right).$$

Lamentablemente, no se muestra cómo se derivó la integral. Se menciona que el resultado se encontró reescribiendo la integral, tomando la derivada de la integral y resolviendo la ecuación diferencial resultante.

¿Tiene alguien alguna idea de cómo se ha conseguido esto?

Estoy tratando de obtener una idea para resolver una integral similar

$$\int_0^\infty \frac{\exp\left(- \beta \sqrt{x^2+y^2}\right)}{x^2+y^2} \cos(b \, x) dx.$$

Gracias.

Editar: $L$ parecen ser las funciones modificadas de Struve y $K$ es la función de Bessel modificada del segundo tipo.

Answer 1

La prueba de la primera integral es la siguiente:

Utilización de las transformadas de Fourier-Coseno

$$\frac{1}{x^2+y^2} \mapsto \frac{\pi}{y}\mathrm{e}^{-s\,y}$$

$$\exp\left(-\sqrt{x^2+y^2}\right) \mapsto \frac{y}{\sqrt{s^2+1}} \, \mathrm{K}_1(y \, \sqrt{s^2+1})$$

resulta en la integral

$$\int_{s=0}^\infty \frac{\pi}{\sqrt{s^2+1}}\mathrm{e}^{-s\,y} \, \mathrm{K}_1(y \, \sqrt{s^2+1}) ds$$

Utilizando la representación integral de la función de Bessel $$\mathrm{K}_1(y \, \sqrt{s^2+1})=\frac{1}{4} \,y \, \sqrt{s^2+1} \int_{t=0}^\infty \mathrm{e}^{-t-\frac{y^2 \, (s^2+1)}{4 \,t}} \frac{1}{t^2} dt$$

y cambiar el orden de integración lleva a

$$\int_{t=0}^\infty \int_{s=0}^\infty \frac{\pi\,y}{4}\mathrm{e}^{-s\,y} \, \mathrm{e}^{-t-\frac{y^2 \, (s^2+1)}{4 \,t}} \frac{1}{t^2} \, ds \, dt$$

La integración con respecto a s da

$$\int_{t=0}^\infty \, \mathrm{e}^{-\frac{y^2}{4t}}\,\frac{\pi^{3/2}}{4\,t^{3/2}}\, (1-\mathrm{erf}(\sqrt{t}))dt$$

Dividiendo la integral se obtiene

$$\int_{t=0}^\infty \, \mathrm{e}^{-\frac{y^2}{4t}}\,\frac{\pi^{3/2}}{4\,t^{3/2}}\, dt = \frac{\pi^2}{2} \, \frac{1}{y}$$

$$\int_{t=0}^\infty \, -\mathrm{e}^{-\frac{y^2}{4t}}\,\frac{\pi^{3/2}}{4\,t^{3/2}}\, \mathrm{erf}(\sqrt{t})dt = -\frac{\pi^2}{2} \left [K_0(y) \mathbf{L}_{-1}(y) + K_1(y) \mathbf{L}_{0}(y)\right]$$ La última integral fue probada aquí .

Lamentablemente esto sigue sin ayudarme con mi problema, ya que no funciona para la integral incluyendo cos $(b\,x)$ . ¿Alguna idea?