Evaluar límite $\lim_{x \rightarrow 0}\left (\frac 1x- \frac 1{\sin x} \right )$

Question

¿Alguien me puede proporcionar con algún toque cómo evaluar este límite? $$ \lim_{x \rightarrow 0} \left (x \frac 1-\frac 1 {\sin x} \right) $ traté de regla de l'hopital pero no funcionó.

Answer 1

Reescribir la diferencia como (después de cierta álgebra y expansión de la serie de Maclaurin) $$ \frac{\sin x-x} {x \sin x}=\frac{x+O(x^3)-x}{x(x+O(x^3))} = \frac{O(x)}{1+O(x^2)} $ que tiende a $0$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $\sin x \sim x$. Así que el límite es igual a $\lim_{x\to 0}({\frac1x-\frac1x})=0$