¿Cuáles son las principales relaciones entre exclusiva o / lógico bicondicional?

Question

Deje $\mathbb{B} = \{0,1\}$ denotar el Booleano de dominio.

Su bien conocido que tanto exclusiva O y lógico bicondicional hacer $\mathbb{B}$ en un grupo Abelian (en el primer caso, la identidad es $0$, en el segundo, el de la identidad es $1$).

Además, yo estaba jugando y se dio cuenta que estos dos operaciones 'asociados' uno sobre el otro, en el sentido de que $(x \leftrightarrow y) \oplus z$ es equivalente a $x \leftrightarrow (y \oplus z).$

Esto puede verse fácilmente a través de la siguiente cadena de equivalencias.

1. $(x \leftrightarrow y) \oplus z$
2. $(x \leftrightarrow y) \leftrightarrow \neg z$
3. $x \leftrightarrow (y \leftrightarrow \neg z)$
4. $x \leftrightarrow (y \oplus z)$

De todos modos, mi pregunta es, ¿cuáles son las principales conexiones entre las operaciones de negación, bicondicional, en exclusiva O? Por otra parte, es $(\mathbb{B},\leftrightarrow,\oplus,\neg)$ formulario de cualquier estructura familiar? Sé que las operaciones binarias no distribuir más de uno a otro, así que no es un anillo.

Answer 1

Ha definido una función $F(x,y,z)$ que es true si un número par de los argumentos es true y false si un número impar de los argumentos es cierto. Ninguna de sus expresiones hacen evidente. Los verdaderos forman un subgrupo de $\Bbb Z_8$ bajo adición, correspondiente a los elementos incluso (uno de) el modo obvio.

Answer 2

Usted probablemente ya sabe esto, pero la inmediata conexión entre ellos es $(x\oplus y) \leftrightarrow \neg(x \leftrightarrow y)$. Entonces la OR exclusiva reduce trivial a la bicondicional y viceversa.